Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
Bài giải chi tiết:
a) Hàm số $y=f(x)=\frac{\ln^2 x}{x}$ liên tục trên đoạn $[1;e^3]$ và có đạo hàm
Ta có: $y’=\frac{x.2\ln x.\frac{1}{x}-\ln^2x }{x^2}=\frac{2\ln x-\ln^2x}{x^2}=\frac{\ln x(2-\ln x)}{x^2}.$
Lập bảng biến thiên ta có:
$\mathop {\max }\limits_{1\leq x\leq e^3 } y =y(e^2)=\frac{4}{e^2}; \mathop {\min }\limits_{1\leq x\leq e^3 }y=\min\left\{y(1);y(e^3) {} \right\}=\min\left\{0; \frac{9}{e^3} {} \right\} =0.$
b) Hàm số $y=g(x)=x^2e^{-x}$ liên tục trên đoạn $[0;\ln 8]$ và có đạo hàm $g'(x)=2xe^{-x}+x^2(-e^{-x})=(2x-x^2)e^{-x}, x\in [0;\ln 8].$
$g'(x)=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$ (hai nghiệm này đều thuộc đoạn $[0;\ln 8]$)
Ta có $g(0)=0; g(2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^2}; g(\ln 8)=\frac{(\ln 8)^2}{8}=\frac{9(\ln 2)^2}{8}$
Vậy $\mathop {\max }\limits_{x\in [0; \ln 8] }g(x)=\frac{4}{e^2} $ và $\mathop {\min }\limits_{x\in [0; \ln 8] }g(x)=0$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
- $1.$ Giải phương trình: $\sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x} $$2.$ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: $y=\sin x\sqrt{\cos x}+\cos x\sqrt{\sin x} $
Trả lời