Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$

a) Hàm số $y=f(x)=\frac{\ln^2 x}{x}$ liên tục trên đoạn $[1;e^3]$ và có đạo hàm
Ta có: $y’=\frac{x.2\ln x.\frac{1}{x}-\ln^2x }{x^2}=\frac{2\ln x-\ln^2x}{x^2}=\frac{\ln x(2-\ln x)}{x^2}.$
Lập bảng biến thiên ta có:
$\mathop {\max }\limits_{1\leq x\leq e^3  } y =y(e^2)=\frac{4}{e^2}; \mathop {\min }\limits_{1\leq x\leq e^3  }y=\min\left\{y(1);y(e^3) {} \right\}=\min\left\{0; \frac{9}{e^3} {} \right\} =0.$

b) Hàm số $y=g(x)=x^2e^{-x}$ liên tục trên đoạn $[0;\ln 8]$ và có đạo hàm $g'(x)=2xe^{-x}+x^2(-e^{-x})=(2x-x^2)e^{-x}, x\in [0;\ln 8].$
$g'(x)=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$ (hai nghiệm này đều thuộc đoạn $[0;\ln 8]$)
Ta có $g(0)=0; g(2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^2}; g(\ln 8)=\frac{(\ln 8)^2}{8}=\frac{9(\ln 2)^2}{8}$
Vậy $\mathop {\max }\limits_{x\in [0; \ln 8] }g(x)=\frac{4}{e^2} $ và $\mathop {\min }\limits_{x\in [0; \ln 8] }g(x)=0$