Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các hàm số sau:a) $y=5\sqrt{1+\cos x}-2 $ b) $y=|\tan x +\cot x |$c) $y=3+\frac{1}{5} \sin x. \cos x $ d) $y=\frac{1}{\sin^2 x+ 2 \sin x+2} $
Bài giải chi tiết:
a) Vì $-1 \leq \cos x \leq 1$ nên $0 \leq 5\sqrt[]{1+\cos x} \sqrt[]{5\sqrt[]{2} } $
Vậy $-2 \leq 5 \sqrt{1+\cos x} -2 \leq 5\sqrt{2} -2 $
Do đó GTLN của $y$ của $5\sqrt{2}-2 $
GTNN của $y$ là $-2$.
b) $y=|\tan x + \cot x|= |\frac{\sin x}{\cos x}+ \frac{\cos x}{\sin x}|= |\frac{1}{\sin x \cos x} |= \frac{2}{|\sin 2x|} $
Vì $|\sin 2x| \leq 1$ nên GTNN của $y$ là $2$. Không có GTLN.
c) $y=3+\frac{1}{5}\sin x \cos x = 3+\frac{1}{10 \sin 2x} $
Vì $-\frac{3}{10} \leq y \leq 3+ \frac{1}{10} $
Vậy GTLN của $y$ là $\frac{31}{10} $ và GTNN của $y$ là $\frac{29}{10}$.
d) Đặt $y=\frac{1}{t} $ với $t=\sin^2x + 2\sin x+2=(\sin x+1)^2+1$
Suy ra $t_{max}=5$ khi $\sin x =1$ hay $x=\frac{\pi}{2}+k2\pi, t _{min}=1 $ khi $\sin x=-1$
Vậy $y_{max}=\frac{1}{t_ {min }}=\frac{1}{1} =1; y _{min}=\frac{1}{ t_ {max}}=\frac{1}{5} $
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời