Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} + xy + 4{y^2}}}$Trong đó $x, y$ là các số thực tùy ý không đồng thời bằng không.
Bài giải chi tiết:
Dễ nhận thấy rằng $A$ luôn xác định với $\forall x,y \in R$ không đồng thời bằng $0$.
a) Xét $x = 0$, khi đó $A = \frac{{{y^2}}}{{4{y^2}}} = \frac{1}{4} \left( {\forall y \in R,{\rm{ y}} \ne {\rm{0}}} \right)$
b) Xét $x \ne 0$, chia cả tử và mẫu của $A$ cho ${x^2}$ ta được: $A = \frac{{1 + {{\left( {\frac{y}{x}} \right)}^2}}}{{1 + \frac{y}{x} + 4{{\left( {\frac{y}{x}} \right)}^2}}}$ $ (1)$
Đặt $t = \frac{y}{x}$, khi đó $(1)$ trở thành $A = \frac{{1 + {t^2}}}{{1 + t + 4{t^2}}}$ (xác định với $\forall t \in R$)
$ \Leftrightarrow A(1 + t + 4{t^2}) = 1 + {t^2} {\rm{ (}}\forall {\rm{t}} \in R)$
$ \Leftrightarrow (4A – 1){t^2} + At + A – 1 = 0 {\rm{ (}}\forall t \in R)$ $ (2)$
• $4A – 1 = 0 \Leftrightarrow A = \frac{1}{4}$: $(2)$ trở thành $\frac{t}{4} + \frac{1}{4} – 1 = 0 \Leftrightarrow t = 3$
• $4A – 1 \ne 0$: Để $(2)$ có nghiệm ta cần có
$\Delta = {A^2} – 4(4A – 1)(A – 1) = – 15{A^2} + 2A – 4 \ge 0$
$ \Leftrightarrow \frac{{10 – 2\sqrt {10} }}{{15}} \le A \le \frac{{10 + 2\sqrt {10} }}{{15}}$
Dễ nhận thấy rằng $\frac{{10 – 2\sqrt {10} }}{{15}} Nên $\min A = \frac{{10 – 2\sqrt {10} }}{{15}},{\rm{ }}\max A = \frac{{10 + 2\sqrt {10} }}{{15}}$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời