Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} + xy + 4{y^2}}}$Trong đó $x, y$ là các số thực tùy ý không đồng thời bằng không.

Dễ nhận thấy rằng $A$ luôn xác định với $\forall x,y \in R$ không đồng thời bằng $0$.
a) Xét $x = 0$, khi đó $A = \frac{{{y^2}}}{{4{y^2}}} = \frac{1}{4}         \left( {\forall y \in R,{\rm{ y}} \ne {\rm{0}}} \right)$
b) Xét $x \ne 0$, chia cả tử và mẫu của $A$ cho ${x^2}$ ta được:  $A = \frac{{1 + {{\left( {\frac{y}{x}} \right)}^2}}}{{1 + \frac{y}{x} + 4{{\left( {\frac{y}{x}} \right)}^2}}}$           $ (1)$
Đặt $t = \frac{y}{x}$, khi đó $(1)$ trở thành  $A = \frac{{1 + {t^2}}}{{1 + t + 4{t^2}}}$    (xác định với $\forall t \in R$)
$ \Leftrightarrow A(1 + t + 4{t^2}) = 1 + {t^2}            {\rm{ (}}\forall {\rm{t}} \in R)$
$ \Leftrightarrow (4A – 1){t^2} + At + A – 1 = 0         {\rm{ (}}\forall t \in R)$           $ (2)$
•    $4A – 1 = 0 \Leftrightarrow A = \frac{1}{4}$:  $(2)$ trở thành $\frac{t}{4} + \frac{1}{4} – 1 = 0 \Leftrightarrow t = 3$
•    $4A – 1 \ne 0$: Để $(2)$ có nghiệm ta cần có
$\Delta  = {A^2} – 4(4A – 1)(A – 1) = – 15{A^2} + 2A – 4 \ge 0$
$ \Leftrightarrow \frac{{10 – 2\sqrt {10} }}{{15}} \le A \le \frac{{10 + 2\sqrt {10} }}{{15}}$
Dễ nhận thấy rằng $\frac{{10 – 2\sqrt {10} }}{{15}} Nên     $\min A = \frac{{10 – 2\sqrt {10} }}{{15}},{\rm{ }}\max A = \frac{{10 + 2\sqrt {10} }}{{15}}$