Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
Bài giải chi tiết:
Ta có $D=R$
Biến đổi hàm số về dạng:
$3\sin x-y\cos x=2y (1)$
Phương trình $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi:
$3^2+(-y)^2\geq (2y)^2\Leftrightarrow y^2\leq 3\Leftrightarrow -\sqrt{3}\leq y\leq \sqrt{3}$.
Vậy, ta có:
– $y_{\max}=\sqrt{3}$, đạt được khi:
$3\sin x-\sqrt{3}\cos x =2\sqrt{3}\Leftrightarrow \sqrt{3}\sin x-\cos x =2\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac{1}{2}\cos x =1$
$\Leftrightarrow \sin (x-\frac{\pi}{6})=1\Leftrightarrow x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2k\pi\Leftrightarrow x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi, k\in \mathbb{Z}$
– $y_{\min } =-\sqrt{3}$, đạt được khi:
$3\sin x+\sqrt{3}\cos x =-2\sqrt{3}\Leftrightarrow \sqrt{3}\sin x+\cos x
=-2\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x =-1$
$\Leftrightarrow \sin (x+\frac{\pi}{6})=-1\Leftrightarrow
x+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\Leftrightarrow
x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi, k\in \mathbb{Z}$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
- $1.$ Giải phương trình: $\sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x} $$2.$ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: $y=\sin x\sqrt{\cos x}+\cos x\sqrt{\sin x} $
Trả lời