Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=\frac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4}$, với $-\pi
Bài giải chi tiết:
Biến đổi hàm số về dạng:
$(2y-1)\cos x-(y+2)\sin x=3-4y (1)$
Phương trình $(1)$ có nghiệm khi:
$(2y-1)^2+(y+2)^2\geq (3-4y)^2\Leftrightarrow 11y^2-24y+4\leq 0\Leftrightarrow \frac{2}{11}\leq y \leq 2$.
Vậy, ta có:
– $y_{\max}=2$, đạt được khi :
$3\cos x-4\sin x=-5\Leftrightarrow \sin (x-\alpha)=1 (\frac{3}{5}=\sin \alpha; \frac{4}{5}=\cos \alpha)$
$x-\alpha =\frac{\pi}{2}+2k\pi\Leftrightarrow x=\alpha +\frac{\pi}{2}+2k\pi, k\in \mathbb{Z}$.
– $y_{\min}=\frac{2}{11}$, đạt được khi:
$7\cos x +24\sin x=-25\Leftrightarrow \cos (x-\beta)=-1 . (\frac{7}{25}=\cos \beta ; \frac{24}{25}=\sin \beta)$
$\Leftrightarrow x-\beta =\pi+2k\pi\Leftrightarrow x=\beta+\pi+k2\pi, k\in \mathbb{Z}$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời