Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: $y=sin^{6}x+cos^{6}x+asinxcosx$
Bài giải chi tiết:
\(y = {\sin ^6}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}x + {\rm{a}}\sin x\cos x =- \frac{3}{4}{\sin ^2}2x + \frac{a}{2}\sin 2x + 1\)
Đặt \(t = \sin 2x\left( { – 1 \le t \le 1} \right)\), khi đó:
\(y = f\left( t \right) = – \frac{3}{4}{t^2} + \frac{a}{2}t + 1\,\,\,\left( {t \in \left[ { – 1,\,1} \right]} \right)\)
\(\Rightarrow f’\left( t \right) = – \frac{3}{2}t + \frac{a}{2}\,\,\\\,f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{a}{3}\)
Nếu \(\frac{a}{3} \le -1 \left( {a \le- 3} \right)\) thì $f(t)$ nghịch biến trong \(\left[ { – 1,\,1} \right]\)
\( \Rightarrow \max f = f\left( { – 1} \right) = \frac{{1 – 2a}}{4};\,\,\min \,f = f\left( 1 \right) = \frac{{1 + 2a}}{4}\)
Nếu \(\frac{a}{3} \ge 1 \left( {a \ge 3} \right)\) thì $f(t)$ đồng biến trong \(\left[ { – 1,\,1} \right]\)
\( \Rightarrow \max f = f\left( 1 \right) = \frac{{1 + 2a}}{4};\,\,\min \,f = f\left( { – 1} \right) = \frac{{1 – 2a}}{4}\)
Nếu \( – 1
Ta có bảng biến thiên:
Nên \(m{\rm{ax}}\,f = 1 + \frac{{{a^2}}}{{12}};\,\,\min \,f = \frac{{1 – 2|a|}}{4}\)
Kết luận \(\min y = \dfrac{{1 – 2|a|}}{4};\,\,\max y = \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{1 + 2|a|}}{4}\,\,\,khi\,|a| \ge 3\\
1 + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}\,\,\,khi\,|a| \end{array} \right.\)
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời