Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:$1/\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + 2x – 3} \right| + \frac{3}{2}\ln x$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,4} \right]$$2/\,\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + x – 2} \right| – \ln \frac{1}{x}$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,2} \right]$
Bài giải chi tiết:
$1/$ Hàm số xác định trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,4} \right]$
Ta có $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{y_1} = – {x^2} – 2x + 3 + \frac{3}{2}\ln x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2} \le x \le 1\\
{y_2} = {x^2} + 2x – 3 + \frac{3}{2}\ln x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \le x \le 4
\end{array} \right.$
* Với $\frac{1}{2} \le x \le 1:\,\,\,\,\,\,\,{f’ }\left( x \right) = {y_1}’ = – 2x – 2 + \frac{3}{{2x}}$
${f’ }\left( x \right) = \frac{{\left( { – 2x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right)}}{{2x}} * Với $1 \le x \le 4:\,\,\,\,\,\,{f’}\left( x \right) = {y_2}’ = 2x + 2 + \frac{3}{{2x}} > 0\,\,\,\,\forall x \in \left[ {1,4} \right]$
Ta có $f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{7}{4} – \frac{3}{2}\ln 2$
$\begin{array}{l}
f(1)\,\,\,\,\, = 0\\
f(4)\,\,\,\, = 21 + 3\ln 2
\end{array}$
Suy ra : $\mathop {Maxf(x)}\limits_{\frac{1}{2} \le x \le 4} =f(4)= 21 + 3\ln 2$
$\mathop {\min f(x)}\limits_{\frac{1}{2} \le x \le 4} =f(1)= 0$
$2)$ Hàm số xác định trên đoạn $[\frac12;2]$
Ta có:
$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} -x^2-x+2+\ln x khi \frac 1 2 \leq x\le 1 \\ x^2+x-2+\ln x khi 1\le x\le 2 \end{array} \right.$
Với $\frac 1 2\le x\le 1$ ta có: $f'(x)=-2x-1+\frac 1 x\le 0 \forall x\in[\frac 1 2;1]$
Với $1\le x\le 2$ ta có: $f'(x)=2x+1+\frac 1 x>0 \forall x\in[1;2]$
Ta có: $f(\frac 1 2)=\frac 5 4 +\ln (\frac 1 2); f(1)=0; f(2)=4+\ln 2$
Vậy: $\mathop {Maxf(x)}\limits_{\frac{1}{2} \le x \le 2} = f(2)=4 + \ln 2$
$\mathop {minf(x)}\limits_{\frac{1}{2} \le x \le 2} =f(1)= 0$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho $f(x)=\sqrt{1+2 \cos x }+\sqrt{1+2 \sin x } . $ Tìm $max f(x) , min f(x). $
- Chứng minh rằng phương trình : $ (4x-3) \log_{2010}x + \frac{2x^2-3x+1}{x\ln 2010} = 0$ có nghiệm trên $\left ( \frac{1}{2} ;1 \right )$
- $y =f(x) \frac{x^2 – 4x + 5}{x – 2}$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.$2$. Dựa vào đồ thị hàm số trên, biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình: ${x^2} – (4 + m)\left| x \right| + 5 + 2m = 0$
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\ln^2 x}{x}$ trên đoạn $[1;e^3]$.
- Cho hàm số: $y = x + 1 + \frac{1}{x – 1}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Từ đồ thị trên, hãy suy ra số nghiệm $x \in \left( {0 ; \frac{\pi }{2}} \right)$ của phương trình $1+\sin x+\cos x+\frac{1}{2}(\tan x + \cot x +\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x})=m$tùy theo giá trị của tham số $m$
- Cho $y=\sin ^3 x – \cos ^3x.$ Tìm $max y , min y.$
- Chứng minh rằng:$\frac{1}{1+(n+1)^{2}}
- Cho hàm số : $y=1+\cos x + \frac{ 1}{ 2} \cos 2x + \frac{ 1}{ 3} \cos 3x.$ Tìm $max y , min y.$
- Chứng minh rằng nếu $0
Trả lời