Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:    $\frac{a^2}{1-a}+\frac{b^2}{1-b}+\frac{1}{a+b}+a+b$.trong đó, $a,b$ là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b<1$

Đặt $M=\frac{a^2}{1-a}+\frac{b^2}{1-b}+\frac{1}{a+b}+a+b$
             $=\frac{a^2}{1-a}+1+a+\frac{b^2}{1-b}+1+b+\frac{1}{a+b}-2$
             $=\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{a+b}-2$.
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpski, ta có:
     $(\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{a+b})[(1-a)+(1-b)+(a+b)]\geq (1+1+1)^2$
     $\Rightarrow \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{9}{2}$
Suy ra $M\geq \frac{9}{2}-2=\frac{5}{2}$.
Vậy, giá trị nhỏ nhất của $M $ là $\frac{5}{2} $ đạt được khi $a=b=\frac{1}{3}$