Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\frac{a^2}{1-a}+\frac{b^2}{1-b}+\frac{1}{a+b}+a+b$.trong đó, $a,b$ là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b
Bài giải chi tiết:
Đặt $M=\frac{a^2}{1-a}+\frac{b^2}{1-b}+\frac{1}{a+b}+a+b$
$=\frac{a^2}{1-a}+1+a+\frac{b^2}{1-b}+1+b+\frac{1}{a+b}-2$
$=\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{a+b}-2$.
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpski, ta có:
$(\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{a+b})[(1-a)+(1-b)+(a+b)]\geq (1+1+1)^2$
$\Rightarrow \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{9}{2}$
Suy ra $M\geq \frac{9}{2}-2=\frac{5}{2}$.
Vậy, giá trị nhỏ nhất của $M $ là $\frac{5}{2} $ đạt được khi $a=b=\frac{1}{3}$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời