Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\sqrt {x_1^2 + y_1^2} + \sqrt {x_2^2 + y_2^2} + … + \sqrt {x_n^2 + y_n^2} $Biết rằng ${x_1} + {x_2} + … + {x_n} = a$; ${y_1} + {y_2} + … + {y_n} = b$ ($a, b$ cho trước)
Bài giải chi tiết:
Xét hàm số
${f_k}(x) = {x_k}{\mathop{ s}\nolimits} {{inx}} + {y_k}\cos x, {{ k}} = 1,2,…,n$
Khi đó $\max {f_k}(x) = \sqrt {{x^2} + {y^2}} , {{ k}} = 1,2,…,n$
Đặt $f(x) = {f_1}(x) + {f_2}(x) + … + {f_k}(x)$
$\begin{array}{l}
= ({x_1} + {x_2} + … + {x_n}){\mathop{ s}\nolimits} {{inx}} + ({y_1} + {y_2} + … + {y_n})c{{osx}}\\
= {{a\sin x}} + b\cos x
\end{array}$
Do đó $\max f(x) = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Với mọi $x \in R$ ta có
${f_1}(x) \le \max {f_1}(x),{{ }}{f_2}(x) \le \max {f_2}(x),…,{f_n}(x) \le \max {f_n}(x)$
Suy ra $f(x) = {f_1}(x) + {f_2}(x) + … + {f_n}(x) \le \max {f_1}(x) + \max {f_2}(x) + … + \max {f_n}(x)$
tức là $\sqrt {{a^2} + {b^2}} \le \sqrt {x_1^2 + y_1^2} + \sqrt {x_2^2 + y_2^2} + … + \sqrt {x_n^2 + y_n^2} $
vậy $\min \left( {\sqrt {x_1^2 + y_1^2} + \sqrt {x_2^2 + y_2^2} + … + \sqrt {x_n^2 + y_n^2} } \right) = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $,
đạt được chẳng hạn khi ${x_1} = a,{{ }}{{{y}}_1} = b,{{ }}{{{x}}_2} = …. = {x_n} = 0,{{ }}{{{y}}_2} = …. = {y_n} = 0$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời