Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :$\begin{array}{l}1/\,\,\,\,\,y = x\ln x – x\ln 5,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ {1,5} \right]\\2/\,\,\,\,y = \frac{1}{2}x\ln x – x\ln 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ {1,2} \right]\end{array}$
Bài giải chi tiết:
$1/$ Hàm số $y = x\ln x – x\ln 5$ xác định trên $\left[ {1,5} \right]$
$\begin{array}{l}
{y’ } = \ln x + 1 – \ln 5 = \ln \frac{{ex}}{5}\\
{y’ } = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\frac{{ex}}{5} = 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x = \frac{5}{e}\\
f\left( {\frac{5}{e}} \right) = \frac{5}{e}\left( {\ln \frac{5}{e} – \ln 5} \right) = – \frac{5}{e}
\end{array}$
Hàm số $y = x\ln x – x\ln 5$ đạt $1$ giá trị cực tiểu trên đoạn $\left[ {1,5} \right]$, đó là giá trị bằng $ – \frac{5}{e}$tại điểm $x = \frac{5}{e}$
Vậy $\mathop {\min y}\limits_{1 \le x \le 5} = – \frac{5}{e}$
$2/$ Hàm số $y = \frac{1}{2}x\ln x – x\ln 2$ xác định trên $\left[ {1,2} \right]$
$\begin{array}{l}
{y’ } =\frac{1}{2}( \ln x + 1) – \ln 2 = \ln \frac{\sqrt {ex}}{2}\\
{y’ } = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\frac{\sqrt{ex}}{2} = 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x = \frac{4}{e}\\
f\left( {\frac{4}{e}} \right) = \frac{2}{e}\ln \frac{4}{e}-\frac{4}{e}.\ln 2= – \frac{2}{e}
\end{array}$
Hàm
số $y = \frac{1}{2}x\ln x – x\ln 2$ đạt $1$ giá trị cực tiểu trên đoạn $\left[
{1,2} \right]$, đó là giá trị bằng $ – \frac{2}{e}$tại điểm $x =
\frac{4}{e}$
Vậy $\mathop {\min y}\limits_{1 \le x \le 2} = – \frac{2}{e}$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời