Tìm GTNN của hàm số: $y = \frac{1}{sinx} + \frac{1}{{\cos x}}$ với $0 < x < \frac{\pi }{2}$ Bài giải chi tiết:
$y = \frac{1}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} + \frac{1}{{\cos x}} =
\frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x}}{{\sin {\rm{x}}\cos x}}$
Đặt $t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x – \frac{\pi
}{4}} \right)$
Thì ${t^2} = 1 + 2\sin x\cos x$
Giả thiết:
$0 \Rightarrow c{\rm{os}}\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) \in \left( {\left. {\frac{1}{{\sqrt 2 }};1}
\right]} \right.$
$ \Rightarrow 1 x)}}{{2\sin x.\cos x}} = \frac{{2t}}{{{t^2} – 1}}$
Xét $f(t) = \frac{{2t}}{{{t^2} – 1}} \,\,\forall t \in \left( {1;\sqrt 2 } \right]$
$f’(t)=\frac{-2t^2-2}{(t^2-1)^2} Hàm số $f(t)$ nghịch biến trong khoảng này $ \Rightarrow \min y = \mathop {{\mathop{\rm
m}\nolimits} {\rm{inf}}(t)}\limits_{t \in (1;\sqrt 2 {\rm{]}}} = f(\sqrt 2 ) = 2\sqrt 2 $
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời