Tìm hai điểm $A,B$ nằm trên đồ thị $(C):y=\frac{x^2}{x-1}$ và đối xứng nhau qua đường thẳng $(d):y=x-1$
Bài giải chi tiết:
Hai điểm $A,B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $(d)$.
$\Leftrightarrow AB\bot (d)$ và trung điểm $I$ của $AB$ thuộc $(d)$.
*Vì $AB$ vuông góc với $(d)$ nên $(AB):y=-x+m$.
Hoành độ giao điểm $A,B$ là nghiệm của phương trình:
$\frac{x^{2}}{x-1}=-x+m \Leftrightarrow g(x)=2x^{2}-(m+1)x+m=0 $ (1)
Để $A,B$ tồn tại thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khi:
$\Delta_{g} >0 \Leftrightarrow (m+1)^{2}-8m>0 \Leftrightarrow m^{2}-6m+1>0$
$\Leftrightarrow m>3+\sqrt{8}$ hoặc $mKhi đó,giả sử $x_{A},x_{B}$ là các nghiệm của (1) thì:
$\begin{cases} x_{A}+x_{B}=\frac{m+1}{2} \\ x_{A}.x_{B}=\frac{m}{2}\end{cases} $
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$,ta có:
$I: \begin{cases} x_{I}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}\\y_{I}=-x_{I}+m\end{cases} \Leftrightarrow I: \begin{cases} x_{I}=\frac{m+1}{4}\\ y_{I}=\frac{3m-1}{4}\end{cases} $
*Điểm $I \in (d)$ nên:
$\frac{3m-1}{4}=\frac{m+1}{4}-1 \Leftrightarrow m=-1$
Với $m=-1$ phương trình (1) có dạng:
$2x^{2}-1=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x_{A}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\x_{B}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases} A(\frac{1}{\sqrt{2}};-1-\frac{1}{\sqrt{2}})\\ B(-\frac{1}{\sqrt{2}};-1+\frac{1}{\sqrt{2}})\end{cases} $
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho hàm số $y=x^{3}-3x^{2}+1$.Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận điểm $I(1;-1)$ làm tâm đối xứng.
- Xem hàm số $y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) $M$ là một điểm tùy ý thuộc đồ thị.Tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại $A$ và $B$. Chứng tỏ rằng $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, và tam giác $IAB$, với $I$ là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào $M$.3) Tìm trên đồ thị hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$
- Cho hàm số $y=f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$,với $c \neq 0,D=ad-bc \neq 0.$ Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận điểm $I(-\frac{d}{c};\frac{a}{c})$ làm tâm đối xứng.
- Cho hàm số $y = \frac{2x – 1}{x + 1}$. Chứng minh rằng đường thẳng $d: y = – x + 1$ là truc đối xứng của $(C)$.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}-mx+m-1}{x-2}$.Tìm $m$ để đồ thị hàm số nhận điểm $I(2;3)$ làm tâm đối xứng.
- Cho hàm số: $y = \frac{x^2 + (m – 2)x + m + 1}{x + 1}\,\,\,$$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 2.$$2.$ Tìm $m$ để trên đồ thị có hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho :$\begin{array}{l} 5{x_A} – {y_A} + 3 = 0; 5{x_B} – {y_B} + 3 = 0\end{array}$Tìm $m$ để hai điểm $A, B$ đó đối xứng với nhau qua đường thẳng $(d)$ có phương trình: $x + 5y + 9 = 0$
- Cho hàm số $y = \frac{2x^2 + (m – 4)x – 2m + 1}{x – 2} (1)$. Tìm $m$ để đồ thị của hàm số $(1)$ nhận điểm $(2; 1)$ làm tâm đối xứng.
- Cho hàm số $y = 2x^3 – (2 + m)x^2 + 1 (1)$ , với $m$ là tham số. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $(1)$ có $2$ điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
- Cho hàm số: $y = \frac{x}{1 + x}$$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.$2.$ Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận. Hãy chứng minh:$a)$ $I$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.$b)$ Không có bất cứ đường tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua $I.$$3.$ Chứng minh rằng với mọi $a, b$ ta có: $\frac{{|a + b|}}{{1 + |a + b|}} \le \frac{{|a| + |b|}}{{1 +|a| + |b|}}$Hãy chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi nào?
Trả lời