Tìm tập giá trị của các hàm số sau:a) $y=3\cos (x+\frac{\pi}{3} )+2$ b) $y=\sqrt{3+2\sin 2x} $c) $y=\frac{1}{\sin ^4 x+ \cos ^4 x} $ d) $y= \sqrt{1+\cos x}-3 $
Bài giải chi tiết:
a) Vì $-1 \leq \cos (x+\frac{\pi}{3} ) \leq 1$ nên $-3 \leq 3 \cos (x+\frac{\pi}{2} ) \leq 3$
$\Rightarrow -3+2 \leq y \leq 3+2$ hay $-1 \leq y \leq 5$
Vậy tập giá trị của hàm số là $[-1; 5]$.
b) $-1 \leq \sin 2x \leq 1 \Rightarrow 1 \leq y \leq \sqrt{5} $.
Vậy tập giá trị của hàm số $y= \sqrt{3+ 2 \sin 2x} $ là $[1; \sqrt{5} ] $.
$\Rightarrow -3+2 \leq y \leq 3+2$ hay $-1 \leq y \leq 5$
Vậy tập giá trị của hàm số là $[-1; 5]$.
b) $-1 \leq \sin 2x \leq 1 \Rightarrow 1 \leq y \leq \sqrt{5} $.
Vậy tập giá trị của hàm số $y= \sqrt{3+ 2 \sin 2x} $ là $[1; \sqrt{5} ] $.
c) Ta lưu ý rằng $\frac{1}{\sin^4 x + \cos ^4 x} $ lớn nhất khi $\sin ^4 x+ \cos ^4 x$ nhỏ nhất và $\frac{1}{\sin ^4 x+ \cos ^4 x}$ nhỏ nhất khi $\sin ^4 x+ \cos ^4 x$ lớn nhất. Do đó ta phải tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:
$A=\sin^4 x + \cos ^4 x \Leftrightarrow A= (\sin^2 x + \cos ^2 x)^2 – 2 \sin^2 \cos^2 x= 1-\frac{1}{2} \sin^2 2x. $
$0 \leq \sin^2 2x \leq 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \leq -\frac{1}{2} \sin^2 2x \leq 0 $
$\Rightarrow \frac{1}{2} \leq A \leq 1 \Rightarrow 1 \leq y \leq 2 $
Vậy GTLN của $y$ là $2$ và GTNN của $y$ là $1$. Do đó tập giá trị của hàm số $y=\frac{1}{\sin^4 x + \cos ^4 x} $ là $[1;2]$
d) $0 \leq 1+ \cos x \leq 2 \Rightarrow 0 \leq \sqrt{1+\cos x} \leq \sqrt{2} $
$\Rightarrow -3 \leq \sqrt{1+ \cos x} -3 \leq \sqrt{2} -3$
Vậy tập giá trị của hàm số $y=\sqrt{1+ \cos x}-3 $ là $[-3; \sqrt{2}-3 ]$
$A=\sin^4 x + \cos ^4 x \Leftrightarrow A= (\sin^2 x + \cos ^2 x)^2 – 2 \sin^2 \cos^2 x= 1-\frac{1}{2} \sin^2 2x. $
$0 \leq \sin^2 2x \leq 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \leq -\frac{1}{2} \sin^2 2x \leq 0 $
$\Rightarrow \frac{1}{2} \leq A \leq 1 \Rightarrow 1 \leq y \leq 2 $
Vậy GTLN của $y$ là $2$ và GTNN của $y$ là $1$. Do đó tập giá trị của hàm số $y=\frac{1}{\sin^4 x + \cos ^4 x} $ là $[1;2]$
d) $0 \leq 1+ \cos x \leq 2 \Rightarrow 0 \leq \sqrt{1+\cos x} \leq \sqrt{2} $
$\Rightarrow -3 \leq \sqrt{1+ \cos x} -3 \leq \sqrt{2} -3$
Vậy tập giá trị của hàm số $y=\sqrt{1+ \cos x}-3 $ là $[-3; \sqrt{2}-3 ]$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời