Tính đạo hàm cấp $n$ của hàm số \(y = \sin^2x\), từ đó suy ra đọa hàm cấp $n$ của hàm số \(y = \cos^2x\)
Bài giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left( {\sin x} \right)’ = \cos x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\\
\left( {\cos x} \right)’ =- {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = c{\rm{os}}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)
\end{array}\)
Do đó:
\(\begin{array}{l}
y = {\sin ^2}x = \frac{1}{2}\left( {1 – c{\rm{os}}2x} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + \sin \left( {2x – \frac{\pi }{2}} \right)} \right) \\\Rightarrow y’ = \frac{1}{2}.2\sin \left( {2x – \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2}} \right) = \sin 2x\\
y” = 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\,\\y”’ = {2^2}\sin \left( {2x + 2.\frac{\pi }{2}} \right)\\
{y^(n)} = {2^{n – 1}}.\sin \left( {2x + \left( {n – 1} \right).\frac{\pi }{2}} \right)
\end{array}\)
Vì \({\sin ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 1 \) là hằng số nên:
${(\cos^2 x)^(n)} = – {2^{n – 1}}.\sin \left( {2x + \left( {n – 1} \right).\frac{\pi }{2}} \right)$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho $f(x)=x^{2}+3x+4$. Tính $f^{'}(2)$
- Tìm $a$ sao cho biểu thức: $ A = \cos 2x – a . \sin ^2 x+ 2 \cos ^2 x $ không phụ thuộc $x$.
- Tìm đạo hàm của hàm số: $y=f(x)=\begin{cases}1 với x=0 \\ \frac{1-\cos x}{x} với x \neq 0\end{cases}$
- Tính đạo hàm của các hàm số sau:a) $y = (3x – 2)\ln^2x$; b) $y = \sqrt{x^2 +1 }\ln x^2$ c) $y = x . \ln \frac{1}{1+x} $; d) $y = \frac{\ln (x^2 + 1)}{x} $
- Tính đạo hàm theo cấp đã cho của hàm số sau:$f(x)=\sin 3x$$f^{"}(-\frac{\pi}{2}),f^{"}(0),f^{"}(\frac{\pi}{18})?$
- Tính đạo hàm số cấp $n$ của hàm số:a) $y=\ln x$b) $y=\ln(x^2+x-2).$
- Cho $f(x)=x^3$ và $g(x)=4x^2+\cos\pi x$. Tính $\frac{f'(1)}{g'(1)}$
- Tìm đạo hàm của các hàm số:a) \(y=\cos^{3}(x^{2}+1)\)b) \(y=\cot (3x^{2}+\frac{x}{2})\).
- Chứng minh rằng :$ n C^0_n – (n-1)C^1_n +(n-2)C^2_n-(n-3)C^3_n+…+(-1)^{n-1}C^{n-1}_n = 0, \forall n \in N$
Trả lời