Tính đạo hàm của các hàm số:a) $y = \sqrt[ 5]{ \ln ^3 5x} $; b) $y = \sqrt[ 3]{\frac{1+x^3}{1-x^3} } $c) $y = \left ( \frac{x}{b} \right)^a . \left (\frac{a}{x}\right)^b $ với $a> 0, b > 0$
Bài giải chi tiết:
a) $y = \sqrt[ 5]{\ln^3( 5x )} = (\ln (5x))^ \frac{3}{5} $
$\Rightarrow y’ = \frac{3}{5} (\ln 5x)^ {-\frac{2}{5}}. (\ln 5x)’ = \frac{3}{5}(\ln 5x)^{-\frac{2}{5}} \left (\frac{5}{5x} \right) = \frac{3}{5x}. \frac{1}{(\ln 5x)^ \frac{2}{5} } = \frac{3}{5x\sqrt[5 ]{ \ln^2 (5x)} } $
b) Đặt $u = \frac{1+x^3}{1-x^3} \Rightarrow y = \sqrt[3 ]{u } = u^ \frac{1}{3} $
$\Rightarrow y’ =\frac{2}{3}u^{-\frac{2}{3}}.u’ = \frac{2u’}{3\sqrt[ 3]{ u^2} } = \frac{u’\sqrt[ 3]{u } }{3u} $ với $u’ =\frac{6x^2}{(1 – x^3)^2} $
Vậy $y’ = \frac{u’\sqrt[ 3]{u } }{3u} = \frac{1}{3} \frac{6x^2}{(1-x^3)^2} \frac{\sqrt[ 3]{ \frac{1+x^3}{1-x^3} } }{\frac{1+x^3}{1-x^3} } = \frac{2x^2 \sqrt[ 3]{\frac{1+x^3}{1-x^3} } }{(1-x^3)(1+x^3)} = \frac{2x^2}{1-x^6}\sqrt[ 3]{\frac{1+x^3}{1-x^3} } $
c) Ta có $y = \left (\frac{x}{b} \right)^a. \left (\frac{a}{x} \right)^b = \frac{a^b}{b^a}.x^{a-b} $
Nếu $a=b$ thì $y=1 \Rightarrow y’=0$.
Nếu $a\ne b$
$ \Rightarrow y’ = \frac{a^b}{b^a}. (a-b).x^{a-b-1}$ hay $y’ = \left (\frac{x}{b} \right)^a. \left (\frac{a}{x} \right)^b .\frac{a-b}{x} $
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho $f(x)=x^{2}+3x+4$. Tính $f^{'}(2)$
- Tìm $a$ sao cho biểu thức: $ A = \cos 2x – a . \sin ^2 x+ 2 \cos ^2 x $ không phụ thuộc $x$.
- Tìm đạo hàm của hàm số: $y=f(x)=\begin{cases}1 với x=0 \\ \frac{1-\cos x}{x} với x \neq 0\end{cases}$
- Tính đạo hàm của các hàm số sau:a) $y = (3x – 2)\ln^2x$; b) $y = \sqrt{x^2 +1 }\ln x^2$ c) $y = x . \ln \frac{1}{1+x} $; d) $y = \frac{\ln (x^2 + 1)}{x} $
- Tính đạo hàm theo cấp đã cho của hàm số sau:$f(x)=\sin 3x$$f^{"}(-\frac{\pi}{2}),f^{"}(0),f^{"}(\frac{\pi}{18})?$
- Tính đạo hàm số cấp $n$ của hàm số:a) $y=\ln x$b) $y=\ln(x^2+x-2).$
- Cho $f(x)=x^3$ và $g(x)=4x^2+\cos\pi x$. Tính $\frac{f'(1)}{g'(1)}$
- Tìm đạo hàm của các hàm số:a) \(y=\cos^{3}(x^{2}+1)\)b) \(y=\cot (3x^{2}+\frac{x}{2})\).
- Chứng minh rằng :$ n C^0_n – (n-1)C^1_n +(n-2)C^2_n-(n-3)C^3_n+…+(-1)^{n-1}C^{n-1}_n = 0, \forall n \in N$
Trả lời