Tính đạo hàm số cấp $n$ của hàm số:a) $y=\ln x$b) $y=\ln(x^2+x-2).$
Bài giải chi tiết:
a) Ta có $y’=(\ln x)’=\frac{1}{x}, y”=-\frac{1}{x^2}, y”’=\frac{1.2}{x^3}, y^{(4)}=-\frac{1.2.3}{x^4} $
bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được:
$y^{(n)}=(-1)^{n+1.\frac{(n-1)!}{x^n} }, n\in \mathbb{Z} ^*$
b) Điều kiện $x1$
Với điều kiện trên thì $x^2+x-2=(x-1)(x+2)>0$, do đó:
$y=\ln(x^2+x-2)\Leftrightarrow y=\ln |(x-1)(x+2)|$
$\Leftrightarrow y=\ln |x-1|+\ln|x+2|$
Như thế ta có:
$y’=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+2}=(x-1)^{-1}+(x+2)^{-1} $
$y”=-(x-1)^{-2}-(x+2)^{-2}$
$y”’=1.2(x-1)^{-3}+1.2(x+2)^{-3}$
Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được:
$y^{(n)}=(-1)^{n+1}(n-1)!\left[\frac{1}{(x-1)^n}+\frac{1}{(x+2)^n} {} \right], (n\in \mathbb{N} ^* )$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho $f(x)=x^{2}+3x+4$. Tính $f^{'}(2)$
- Tìm $a$ sao cho biểu thức: $ A = \cos 2x – a . \sin ^2 x+ 2 \cos ^2 x $ không phụ thuộc $x$.
- Tìm đạo hàm của hàm số: $y=f(x)=\begin{cases}1 với x=0 \\ \frac{1-\cos x}{x} với x \neq 0\end{cases}$
- Tính đạo hàm của các hàm số sau:a) $y = (3x – 2)\ln^2x$; b) $y = \sqrt{x^2 +1 }\ln x^2$ c) $y = x . \ln \frac{1}{1+x} $; d) $y = \frac{\ln (x^2 + 1)}{x} $
- Tính đạo hàm theo cấp đã cho của hàm số sau:$f(x)=\sin 3x$$f^{"}(-\frac{\pi}{2}),f^{"}(0),f^{"}(\frac{\pi}{18})?$
- Cho $f(x)=x^3$ và $g(x)=4x^2+\cos\pi x$. Tính $\frac{f'(1)}{g'(1)}$
- Tìm đạo hàm của các hàm số:a) \(y=\cos^{3}(x^{2}+1)\)b) \(y=\cot (3x^{2}+\frac{x}{2})\).
- Chứng minh rằng :$ n C^0_n – (n-1)C^1_n +(n-2)C^2_n-(n-3)C^3_n+…+(-1)^{n-1}C^{n-1}_n = 0, \forall n \in N$
- Chứng minh rằng hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho:$y=A\sin (\omega t+\varphi)+B\cos (\omega t+\varphi) $ thỏa mãn $y^{"}+\omega^{2} y=0$Trong đó $A,B,\omega ,\varphi$ là những hằng số
Trả lời