Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$.  Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.

Điều kiện của nghiệm:  ${x^2} + {y^2} > 0,{\rm{ }}{x^2} + {y^2} \ne 1,{\rm{ x}} + y > 0$

a) ${x^2} + {y^2} > 1$. Bất phương trình đã cho tương đương với:  $x + y \ge {x^2} + {y^2}$                $(1)$
Đặt $t = x + 2y \Rightarrow x = t – 2y$ ; thế vào (1) ta được:
$t – y \ge {(t – 2y)^2} + {y^2} = {t^2} – 4ty + 5{y^2}$
$ \Leftrightarrow 5{y^2} + (1 – 4t)y + {t^2} – t \le 0$            $(2)$
$(2)$ có nghiệm đối với $y$ khi và chỉ khi
$\Delta ‘ = {(1 – 4t)^2} + 20({t^2} – t) =  – 4{t^2} + 12t + 1 \ge 0$
$ \Leftrightarrow \frac{3}{2} – \frac{{\sqrt {10} }}{2} \le t \le \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {10} }}{2}$
Từ đó        ${t_{m{\rm{ax}}}} = \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {10} }}{2}$
(đạt được tại $x = t – 2y,y = \frac{{4t – 1}}{{10}}$)

b) ${x^2} + {y^2}     $x + y \le {x^2} + {y^2}$
$\begin{array}{l}
 \Rightarrow t = x + 2y = x + y + y \le {x^2} + {y^2} + y \le 1 + 1 = 2\\                                                                               
({x^2} + {y^2} \end{array}$
   $ \Rightarrow 2$ là giá trị lớn nhất của $t = x + 2y$