Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
Bài giải chi tiết:
Điều kiện của nghiệm: ${x^2} + {y^2} > 0,{\rm{ }}{x^2} + {y^2} \ne 1,{\rm{ x}} + y > 0$
a) ${x^2} + {y^2} > 1$. Bất phương trình đã cho tương đương với: $x + y \ge {x^2} + {y^2}$ $(1)$
Đặt $t = x + 2y \Rightarrow x = t – 2y$ ; thế vào (1) ta được:
$t – y \ge {(t – 2y)^2} + {y^2} = {t^2} – 4ty + 5{y^2}$
$ \Leftrightarrow 5{y^2} + (1 – 4t)y + {t^2} – t \le 0$ $(2)$
$(2)$ có nghiệm đối với $y$ khi và chỉ khi
$\Delta ‘ = {(1 – 4t)^2} + 20({t^2} – t) = – 4{t^2} + 12t + 1 \ge 0$
$ \Leftrightarrow \frac{3}{2} – \frac{{\sqrt {10} }}{2} \le t \le \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {10} }}{2}$
Từ đó ${t_{m{\rm{ax}}}} = \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {10} }}{2}$
(đạt được tại $x = t – 2y,y = \frac{{4t – 1}}{{10}}$)
b) ${x^2} + {y^2} $x + y \le {x^2} + {y^2}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow t = x + 2y = x + y + y \le {x^2} + {y^2} + y \le 1 + 1 = 2\\
({x^2} + {y^2} \end{array}$
$ \Rightarrow 2$ là giá trị lớn nhất của $t = x + 2y$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
- $1.$ Giải phương trình: $\sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x} $$2.$ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: $y=\sin x\sqrt{\cos x}+\cos x\sqrt{\sin x} $
Trả lời