Trong các số thực $x, y, z$ thỏa mãn hệ thức \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1\). Hãy tìm x, y, z để biểu thức \(|x + 2y + 3z – 8|\) đạt giá trị lớn nhất. Xác định giá trị đó.

\(|x + 2y + 3z – 8|\)
\( = |\left( {x – 1} \right) + 2\left( {y – 2} \right) + 3\left( {z – 1} \right)| \le \sqrt {\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2}} \right)\left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 2} \right)}^2} + {{\left( {z – 1} \right)}^2}} \right]} \)
\( = \sqrt {14.1}  = \sqrt {14} \)  (BĐT Bunhiacopsky)

\(|x + 2y + 3z – 8|\) đạt giá trị lớn nhất \( = \sqrt {14} \)
   
Dấu bằng xảy ra\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 1}}{3} = \frac{{x + 2y + 3z – 8}}{{14}}\\
|x + 2y + 3z – 8| = \sqrt {14}
\end{array} \right.\)
                           \(\Leftrightarrow x = 1 \pm \frac{1}{{\sqrt {14} }};y = 2 \pm \frac{2}{{\sqrt {14} }};z = 1 \pm \frac{3}{{\sqrt {14} }}\)