Trong các số thực $x, y, z$ thỏa mãn hệ thức \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1\). Hãy tìm x, y, z để biểu thức \(|x + 2y + 3z – 8|\) đạt giá trị lớn nhất. Xác định giá trị đó.
Bài giải chi tiết:
\(|x + 2y + 3z – 8|\)
\( = |\left( {x – 1} \right) + 2\left( {y – 2} \right) + 3\left( {z – 1} \right)| \le \sqrt {\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2}} \right)\left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 2} \right)}^2} + {{\left( {z – 1} \right)}^2}} \right]} \)
\( = \sqrt {14.1} = \sqrt {14} \) (BĐT Bunhiacopsky)
\(|x + 2y + 3z – 8|\) đạt giá trị lớn nhất \( = \sqrt {14} \)
Dấu bằng xảy ra\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 1}}{3} = \frac{{x + 2y + 3z – 8}}{{14}}\\
|x + 2y + 3z – 8| = \sqrt {14}
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow x = 1 \pm \frac{1}{{\sqrt {14} }};y = 2 \pm \frac{2}{{\sqrt {14} }};z = 1 \pm \frac{3}{{\sqrt {14} }}\)
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời