Xác định tham số $a,b$ sao cho hàm số $y=\frac{ax+b}{x^2+1}$ đạt giá trị lớn nhất bằng $4$, giá trị nhỏ nhất bằng $-1$

 Giải
Tập xác định: $D=R$
$y_0$ thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm:
      $y_0=\frac{ax+b}{x^2+1} \Leftrightarrow y_0x^2-ax+y_0-b=0    (1)$
–  Nếu $y_0=0$ thì $(1) \Leftrightarrow ax=-b$ có nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =b= 0\\a\neq 0\end{array} \right. $
–  Nếu $y_0\neq 0$ thì $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi:
         $\Delta \geq 0 \Leftrightarrow a^2-4(y_0-b)y_0 \geq 0 \Leftrightarrow -4y_0^2+4by_0+a^2 \geq 0$
$y_0$ phải thay đổi từ $-1$ đến $4$, nghĩa là tam thức $-4y_0^2+4by_0+a^2$ phải có nghiệm là $-1$ và $4$ ( vì $-4Theo định lí Vi-ét ta có: $\begin{cases}-\frac{a^2}{4}=-4 \\ b=3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=\pm4 \\ b=3 \end{cases}$
   Vậy với $a=4, b=3$ hoặc $a=-4,b=3$ thì $\min y=-1, \max y=4$
* Cách khác:
Ta tìm $a,b$ để $-1 \leq \frac{ax+b}{x^2+1} \leq 4    (2)$, với mọi $x$ và dấu bằng xảy ra được:
   $(2) \Leftrightarrow \begin{cases}4x^2-ax+4-b \geq 0 \\ x^2+ax+1+b \geq 0 \end{cases}$  với mọi $x$  
          $\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta_1=a^2-16(4-b)=0 \\ \Delta_2=a^2-4(1+b)=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=\pm 4 \\ b=3 \end{cases}$