Giải
Tập xác định: $D=R$
$y_0$ thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm:
$y_0=\frac{ax+b}{x^2+1} \Leftrightarrow y_0x^2-ax+y_0-b=0 (1)$
– Nếu $y_0=0$ thì $(1) \Leftrightarrow ax=-b$ có nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =b= 0\\a\neq 0\end{array} \right. $
– Nếu $y_0\neq 0$ thì $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi:
$\Delta \geq 0 \Leftrightarrow a^2-4(y_0-b)y_0 \geq 0 \Leftrightarrow -4y_0^2+4by_0+a^2 \geq 0$
$y_0$ phải thay đổi từ $-1$ đến $4$, nghĩa là tam thức $-4y_0^2+4by_0+a^2$ phải có nghiệm là $-1$ và $4$ ( vì $-4Theo định lí Vi-ét ta có: $\begin{cases}-\frac{a^2}{4}=-4 \\ b=3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=\pm4 \\ b=3 \end{cases}$
Vậy với $a=4, b=3$ hoặc $a=-4,b=3$ thì $\min y=-1, \max y=4$
* Cách khác:
Ta tìm $a,b$ để $-1 \leq \frac{ax+b}{x^2+1} \leq 4 (2)$, với mọi $x$ và dấu bằng xảy ra được:
$(2) \Leftrightarrow \begin{cases}4x^2-ax+4-b \geq 0 \\ x^2+ax+1+b \geq 0 \end{cases}$ với mọi $x$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta_1=a^2-16(4-b)=0 \\ \Delta_2=a^2-4(1+b)=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=\pm 4 \\ b=3 \end{cases}$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{1+\sin x}-3$
- Cho biểu thức $P$ = \(\cos A + \cos B + \cos C\). Trong đó $A, B, C$ là các góc của tam giác $ABC$ bất kì. Chứng minh rằng $P$ đạt giá trị lớn nhất nhưng không đạt giá trị nhỏ nhất.
- Trong các số thực $x, y, z$ thỏa mãn hệ thức \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1\). Hãy tìm x, y, z để biểu thức \(|x + 2y + 3z – 8|\) đạt giá trị lớn nhất. Xác định giá trị đó.
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{4x+3}{x^{2}+1}$.
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: $y=sin^{6}x+cos^{6}x+asinxcosx$
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{3{x^2} + 10x + 20}}{{{x^2} + 2x + 3}}\)
- Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: $y=[\frac{12x(x-a)}{x^2+36}]^\frac{3}{4}$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$