Xác định tham số $a,b$ sao cho hàm số $y=\frac{ax+b}{x^2+1}$ đạt giá trị lớn nhất bằng $4$, giá trị nhỏ nhất bằng $-1$
Bài giải chi tiết:
Giải
Tập xác định: $D=R$
$y_0$ thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm:
$y_0=\frac{ax+b}{x^2+1} \Leftrightarrow y_0x^2-ax+y_0-b=0 (1)$
– Nếu $y_0=0$ thì $(1) \Leftrightarrow ax=-b$ có nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =b= 0\\a\neq 0\end{array} \right. $
– Nếu $y_0\neq 0$ thì $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi:
$\Delta \geq 0 \Leftrightarrow a^2-4(y_0-b)y_0 \geq 0 \Leftrightarrow -4y_0^2+4by_0+a^2 \geq 0$
$y_0$ phải thay đổi từ $-1$ đến $4$, nghĩa là tam thức $-4y_0^2+4by_0+a^2$ phải có nghiệm là $-1$ và $4$ ( vì $-4Theo định lí Vi-ét ta có: $\begin{cases}-\frac{a^2}{4}=-4 \\ b=3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=\pm4 \\ b=3 \end{cases}$
Vậy với $a=4, b=3$ hoặc $a=-4,b=3$ thì $\min y=-1, \max y=4$
* Cách khác:
Ta tìm $a,b$ để $-1 \leq \frac{ax+b}{x^2+1} \leq 4 (2)$, với mọi $x$ và dấu bằng xảy ra được:
$(2) \Leftrightarrow \begin{cases}4x^2-ax+4-b \geq 0 \\ x^2+ax+1+b \geq 0 \end{cases}$ với mọi $x$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta_1=a^2-16(4-b)=0 \\ \Delta_2=a^2-4(1+b)=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=\pm 4 \\ b=3 \end{cases}$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời