Xem hàm số   $y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}}$1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2)    $M$ là một điểm tùy ý thuộc đồ thị.Tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại $A$ và $B$. Chứng tỏ rằng $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, và tam giác $IAB$, với $I$ là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào $M$.3)    Tìm trên đồ thị hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$

$1)$    Dành cho bạn đọc.

$2)$    Kí hiệu ${x_M} = a$ là hoành độ của $M$. Khi đó $M$ có tung độ
${y_M} = \frac{a}{2} – 1 + \frac{1}{{a – 1}}$
và tại $M$ tiếp tuyến có hệ số góc $y’\left( a \right) = 1/2 – 1/{\left( {a – 1} \right)^2}$.
Từ đó ta có phương trình tiếp tuyến tại $M$:  $y = \left[ {\frac{1}{2} – \frac{1}{{{{\left( {a – 1} \right)}^2}}}} \right]\left( {x – a} \right) + \left( {\frac{a}{2} – 1 + \frac{1}{{a – 1}}} \right)$
Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng tại $A$ với tọa độ ${x_A} = 1$.
${y_A} = \left[ {\frac{1}{2} – \frac{1}{{{{\left( {a – 1} \right)}^2}}}} \right]\left( {1 – a} \right) + \left( {\frac{a}{2} – 1 + \frac{1}{{a – 1}}} \right) =  – \frac{1}{2} + \frac{2}{{a – 1}}$
và cắt tiệm cận xiên tại với tọa độ
${y_B} = \left[ {\frac{1}{2} – \frac{1}{{{{\left( {a – 1} \right)}^2}}}} \right]\left( {{x_B} – a} \right) + \left( {\frac{a}{2} – 1 + \frac{1}{{a – 1}}} \right) = \frac{B}{2} – 1$
$ \Rightarrow \frac{{{x_B} – a}}{{{{\left( {a – 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{a – 1}} \Rightarrow {x_B} = 2a – 1$ , do đó ${y_B} = a – 3/2$.
Ta có $\frac{1}{2}\left( {{x_A} + {x_B}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + 2a – 1} \right) = a = {x_M},$
$\frac{1}{2}\left( {{y_A} + {y_B}} \right) = \frac{1}{2}\left[ { – \frac{1}{2} + \frac{2}{{a – 1}} + a – \frac{3}{2}} \right] = \frac{a}{2} – 1 + \frac{1}{{a – 1}} = {y_M},$  chứng tỏ $M$ là trung điểm của $AB$.
Giao điểm $I$ của các tiệm cận có tọa độ ${x_1} = 1,{y_1} = \left( {1/2} \right) – 1 =  – 1/2$. Vậy $\Delta IAB$ có diện tích
$S = \frac{1}{2}\left| {{y_A} – {y_1}} \right|.\left| {{x_A} + {x_1}} \right| = \frac{1}{2}.\frac{2}{{a – 1}}.\left| {2a – 2} \right| = 2$

$3)$    Gọi ${x_1},{x_2}$ là hoành độ hai điểm $M, N$ của đồ thị đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$. Thế thì ${x_2},{x_1}$ là tung độ của hai điểm $M, N$.
Đường thẳng $MN$ vuông góc với đường thẳng $y = x$ nên có hệ số góc $-1$, vậy có phương trình $y = – x + k$. Ta có ${x_2} = – {x_1} + k \Rightarrow k = {x_1} + {x_2}$. $M, N$ thuộc đồ thị nên ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình
$\frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}} = – x + k \Leftrightarrow 3{x^2} – \left( {5 + 2k} \right)x + 4 + 2k = 0$.        $(1)$
Theo định lí Viet ta có $k = {x_1} + {x_2} = \left( {5 + 2k} \right)/3 \Rightarrow k = 5$.
Với $k = 5\Rightarrow $ (1) trở thành $3{x^2} – 15x + 14 = 0$. Giải ra ta có  ${x_{1,2}} = \frac{{15 \pm \sqrt {57} }}{6}$