Xem hàm số: $y = \sqrt{a+cos x}+\sqrt{a+sin x} $. Trong đó $a \ge 0$.1) Với $a = 0$, hãy tìm tập xác định của hàm số.2) Tính đạo hàm $y’$ của hàm số đã cho.3) Tìm ${y^2}$, từ đó suy ra rằng hàm số $y$ đạt giá trị lớn nhất khi: $x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi (k \in Z)$
Bài giải chi tiết:
$1)$ Với $a = 0$ ta có $y = \sqrt {c{\rm{osx}}} + \sqrt {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} $
Cần có $\left\{ \begin{array}{l}
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \ge {\rm{0}}\\
{\rm{cosx}} \ge {\rm{0}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow 2k\pi \le x \le \frac{\pi }{2} + 2k\pi ,(k \in Z)$
$2)$ $y’ = \frac{{c{\rm{osx}}}}{{{\rm{2}}\sqrt {{\rm{a + sinx}}} }} – \frac{{{\rm{sinx}}}}{{{\rm{2}}\sqrt {{\rm{a + cosx}}} }}$
$3)$ ${y^2} = 2a + ({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + cosx}}){\rm{ + 2}}\sqrt {{{\rm{a}}^{\rm{2}}} + a({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + cosx}}) + {\rm{sinx}}c{\rm{osx}}} $
Đặt $t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + cosx \Rightarrow t}} \le \sqrt {\rm{2}} ,{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inxcosx = }}\frac{{{{\rm{t}}^{\rm{2}}} – 1}}{2}$
$\begin{array}{l}
{y^2} = 2a + t{\rm{ + 2}}\sqrt {{{\rm{a}}^{\rm{2}}} + at + \frac{{{{\rm{t}}^{\rm{2}}} – 1}}{2}} \\
\le 2a + \sqrt 2 {\rm{ + 2}}\sqrt {{{\rm{a}}^{\rm{2}}} + a\sqrt 2 + \frac{1}{2}}
\end{array}$
Dấu = chỉ có thể xảy ra khi: $t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + cosx = }}\sqrt {\rm{2}} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi (k \in Z)$
(để ý rằng vì $a \ge 0$, nên các điểm $x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi $ thuộc tập xác định của hàm số)
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tính đạo hàm của hàm số:a) $y = \ln |x+ \sqrt{x^2 +1}| $; b) $y = \ln |\frac{\cos x + \sin x}{\cos x – \sin x}|; $b) $y = \ln |\tan \frac{x}{2}|; $ d) $y = \ln \left (\frac{x^2+x-2}{x^2-6x+8} \right) $
- Định $m$ để hàm số :$y=\sqrt{mx-2m+1}+\sqrt{2x+m-2} $ xác định khi $x \geq 1$
- Với những giá trị nào của $x$ thì các biểu thức sau có nghĩaa) $\sqrt[6]{2x-4}+\sqrt[8]{2-x} $ b) $\sqrt[4]{2x^2-x-1} $c) $\sqrt[5]{\frac{2x+1}{6-3x} }. $
- Cho hàm số : $f(x) = \sqrt {{sin^4}x + {cos ^4}x – 2msinxcos x} $Tìm các giá trị của m để $f(x)$ xác định với mọi $x.$
- Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{5x+3} {|x^2-4|+|x^2-3x+2|}$
- Với các giá trị nào của $m$ thì hàm số : $y = {2^{\log_3\left[ {\left( {m + 1} \right)x^2- 2\left( {m – 1} \right)x + 2m – 1} \right]}}$ xác định với mọi $x \in R$
- Cho các hàm số : $f(x) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}},g(x) = \frac{x}{{1 – \left| x \right|}}$$ a)$ Tìm miền xác định và miền giá trị của $f(x) $ và $g(x).$$ b)$ Tìm $g_0f$ và $f_0g.$
- Tìm tập xác định của hàm số:$y = {2^{\sqrt {\left| {X – 3} \right| – \left| {8 – X} \right|} }} + {\sqrt {\frac{{ – {{\log }_{0,3}}(X – 1)}}{{\sqrt {{X^2} – 2X – 8} }}} _{}}$ĐH Y Hà Nội 1997
- Xác định $m$ để các hàm số sau đấy xác định với mọi $x>0$a) $y=\sqrt{x-m}+\sqrt{2x-m-1}$ b) $y=\sqrt{2x-3m+4}+\frac{x-m}{x+m-1}$
Trả lời