Xét dấu hàm số: $f(x) = 2 + \cos x – 2 \tan \frac{x}{2} $ trên $ (0,\pi )$
Bài giải chi tiết:
Hàm số $f(x)$ liên tục trên $(0,\pi )$.
Giải phương trình $f(x) = 0$ với ẩn phụ $t = \tan \frac{x}{2}$, suy ra $ \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, ta có :
$2+\frac{1-t^2}{1+t^2} -2t = 0 \Leftrightarrow 2t^3-t^2+2t-3 = 0 \Leftrightarrow (t-1)(2t^2+t+3) = 0$
$ \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2}$.
Như vậy, trên các khoảng $(0,\frac{\pi}{2})$ và $(\frac{\pi}{2},\pi )$ hàm số $f(x)$ không triệt tiêu ($f(x)$ giữ nguyên dấu) do đó :
* Vì $f\left ( \frac{\pi}{3} \right )= 2 +\frac{1}{2} -\frac{2}{\sqrt{3}} >0 $ nên $ f(x) >0 $ với $ \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})$.
* Vì $f\left ( \frac{2\pi}{3} \right ) = 2 -\frac{1}{2} -2\sqrt{3}
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Chứng minh rằng phương trình: $2x+6\sqrt[3]{1-x}=3$ có ba nghiệm phân biệt thuộc $(-7,9)$
- Chứng minh rằng các phương trình sau đây:1) \(x^{5}-3x-1=0\) có ít nhất 1 nghiệm \(1
- Cho hàm số \(f(x)=\begin{cases}\frac{x^{3}-1}{x-1}, x\neq 1 \\ 3, x=1\end{cases}\). Chứng minh rằng \(f(x)\) liên tục tại \(x=1\).
- Chứng minh rằng phương trình: $ 5x^4+40x^3+105x^2+100x+24 = 0 $ có bốn nghiệm âm phân biệt.
- Chứng minh: $f(x)=a.\cos4x+b.\cos3x+c.\cos2x+d.\cos x=0$ luôn có nghiệm $ \in ( {0;\pi })$
- Cho $f,g$ liên tục trên $[a,b]$ và $g(x_{0})\neq 0,x_{0}\in [a,b]$Chứng minh rằng:Nếu: $\begin{cases} 0
- Cho $ a_1, a_2, …, a_n$ là các hằng số thực. Chứng minh rằng phương trình $a_1.\cos x + a_2 \cos 2x+…+ a_n.\cos nx = 0$ luôn có nghiệm trên $[0;2\pi ].$
- Tìm các khoảng và nửa khoảng ở đó hàm sau đây liên tục:$y=f(x)=\begin{cases}x^{2}+x+1 nếu x
- Chứng minh rằng phương trình: $x^5+x-1=0$ có nghiệm trên khoảng $(-1,1)$
Trả lời