Xét dấu hàm số: $f(x) = 2 + \cos x – 2 \tan \frac{x}{2} $ trên $ (0,\pi )$

Hàm số $f(x)$ liên tục trên $(0,\pi )$.
Giải phương trình $f(x) = 0$ với ẩn phụ $t = \tan \frac{x}{2}$, suy ra $ \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, ta có :
      $2+\frac{1-t^2}{1+t^2} -2t = 0 \Leftrightarrow  2t^3-t^2+2t-3 = 0 \Leftrightarrow  (t-1)(2t^2+t+3) = 0$
      $ \Leftrightarrow  t = 1 \Leftrightarrow  \tan \frac{x}{2} = 1 \Leftrightarrow  x = \frac{\pi}{2}$.
Như vậy, trên các khoảng $(0,\frac{\pi}{2})$ và $(\frac{\pi}{2},\pi )$ hàm số $f(x)$ không triệt tiêu ($f(x)$ giữ nguyên dấu) do đó :
* Vì $f\left ( \frac{\pi}{3} \right )= 2 +\frac{1}{2} -\frac{2}{\sqrt{3}} >0 $ nên $ f(x) >0 $ với $ \forall x \in  (0;\frac{\pi}{2})$.
* Vì $f\left ( \frac{2\pi}{3} \right ) = 2 -\frac{1}{2} -2\sqrt{3}