Xét hàm số  $y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}$                    (1)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên, từ đó suy ra đồ thị của hàm số$y = \left| {\frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}} \right|$2) Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (1) biết rằng tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng $3y – x + 6 = 0$

$1)$ Viết lại biểu thức hàm số dưới dạn: $y = x + 1 + \frac{1}{{x + 2}}$
Hàm số xác định với $\forall x \ne  – 2$.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x =  – 2$, tiệm cận xiên $y = x + 1$.
Ta có        $y’ = 1 – \frac{1}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{{{{(x + 2)}^2} – 1}}{{{{(x + 2)}^2}}}$
Bạn đọc vẽ đồ thị và bảng biến thiên
Từ đó suy ra : $x >  – 2$ đồ thị hàm số $y = \left| {\frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}} \right|$ trùng với đồ thị hàm số đã vẽ.
Với $x
$2)$ Tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng $3y – x + 6 = 0$ $ \Leftrightarrow y = \frac{1}{3}x – 2$ nên có hệ số góc bằng $ – 3$ (do $ – 3.\frac{1}{3} = – 1$).
Khi đó hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
    $y’ = 1 – \frac{1}{{{{(x + 2)}^2}}} = – 3{\rm{  }} \Leftrightarrow \left[ {{{(x + 2)}^2} – 1} \right] + 3{(x + 2)^2} = 0 \Leftrightarrow $
$4{(x + 2)^2} – 1 = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {{\rm{(x}} + 2)^2} = 1/4{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{x}} = – 3/2,{\rm{  x}} = – 5/2$

Vậy phương trình các tiếp tuyến tương ứng là:
    $\begin{array}{l}
y = – 3(x + 3/2) + ( – 3/2 + 1 + \frac{1}{{ – 3/2 + 2}}) = – 3x – 3,\\
y = – 3(x + 5/2) + ( – 5/2 + 1 + \frac{1}{{ – 5/2 + 2}}) = – 3x – 11
\end{array}$