Xét tính liên tục của hàm số sau trên toàn trục số:  $f(x) = \begin{cases}x^2+x  khi  x

Hàm số xác định với mọi $ x \in  R$
1. Khi $x 2. Khi $x >1$, ta có : $f(x) =ax +1$ nên hàm số liên tục với $x >1$
3. Khi $x=1$, ta có :
      $ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-}f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-}(x^2+x)=2$
      $ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1^+}f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1^+}(ax+1) = a+1$.
      $ f(1) = a+1.$
Do đó:
* Nếu $a =1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-}f(x)= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1^+}f(x) = f(1)=2$, do đó hàm số liên tục tại $x_0=1$
* Nếu $a \neq  1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+}f(x) \neq  \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-}f(x)$, do đó hàm số gián đoạn tại $x_0 =1$.
Kết luận :
– Nếu $a = 1$, hàm số liên tục trên toàn trục số
– Nếu $a \neq  1$, hàm số liên tục trên $(-\infty  ;1) \cup (1;+\infty)$ và gián đoạn tại $x_0=1$.