a) Chứng minh: $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$Giả sử cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ với ba kích thươc $AB=a, AD=b, Â’=c$ và đường chéo $AC’=d$và gọi góc $\widehat {C’AB}=\alpha, \widehat {C’AD}=\beta, \widehat {C’AA’}=\gamma$Tính chất hình hộp chữ nhật cho ta nhữngtam giác vuông nên: $\cos \alpha=\frac{a}{d}, \cos \beta=\frac{b}{d}, \cos \gamma=\frac{c}{d}$Do đó: $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=\frac{a^2}{d^2}+\frac{b^2}{d^2}+\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{d^2}$Ta đã biết trong hình hộp chữ […]
Hình học không gian
Cho tứ diện $ABCD$, trong đó góc tam diện đỉnh $D$ là tam diện vuông. Giả sử $DA=a, DB=b, DC=c$. Chứng minh rằng với mỗi điểm $M$ nằm trên một cạnh của $\triangle ABC$ thì: $S=d(A,DM)+d(B,DM)+d(C,DM) \leq \sqrt{2(a^2+b^2+c^2)}$Khi nào xảy ra dấu bằng, ở đây $d(A,DM)$ là khoảng cách từ $A$ đến $DM$.
Không giảm tổng quát ta có thể giả sử $A$ nằm trên $AB$Đặt $MDB=\varphi$. Khi đó dễ dàng ta thấy $S=c+a\cos \varphi+b\sin \varphi$Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có: $a\cos \varphi+b\sin \varphi \leq \sqrt{a^2+b^2} (1)$Dấu bằng trong $(1)$ có $\Leftrightarrow \frac{a}{\cos \varphi}=\frac{b}{\sin \varphi} \Leftrightarrow \tan \varphi=\frac{b}{a}$Chú ý là trong tam giác vuông $ADB$ thì $\frac{b}{a}=\tan […]
Cho hai mặt phẳng $(P), (Q)$ cắt nhau theo giao tuyến $d$. Cho $A, B$ là hai điểm thuộc $d$. Gọi $O$ là điểm tùy ý nằm ngoài $(P), (Q)$. Giả sử các đường thẳng $OA, OB$ lần lượt cắt $(Q)$ tại $A’$ và đường thẳng $AB$ cắt $d$ tại $C$.a) Ba điểm $O, A, B$ có thể thẳng hàng không, tại sao?b) Chứng minh ba đường thẳng $AB, A’B’$ và $d$ đồng quy.
a) Ba điểm $O, A, B$ không thể thẳng hàng. Thật vậy, nếu chúng thẳng hàng thì $O$ nằm trên đường thẳng $AB$, nên $O$ phải thuộc mặt phẳng $(P)$, điều này trái giả thiết.b) Xét hai mặt phẳng $(OAB)$ và mặt phẳng $(Q)$: Do $C$ là giao điểm của $d$ (nằm trong $(Q)$) và […]
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ và $N$ theo thứ tự là trung điểm của $AB$ và $SC$.a) Xác định các giao điểm $I$ và $J$ của mp$(SBD)$ theo thứ tự với các đường thẳng $AN$ và $MN$.b) Tính các tỉ số $\frac{IA}{IN}, \frac{JM}{JN}, \frac{IB}{IJ}.$
a) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Tam giác $SAC$ có hai trung tuyến $SO$ và $AN$ cắt nhau tại trọng tâm $I$ của nó. Mặt khác đường thẳng $SO$ cũng thuộc mp$(SBD)$ nên $I$ là giao điểm của $AN$ và mp$(SBD)$. Ta có $BI$ và $MN$ đều thuộc mp$(ANB)$, vậy $MN$ […]
Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ với tâm $O$ và $AB=a, AD=b, AA’=c.$Với mọi điểm $M$ ta đặt $T=MA^2+MB^2+MC^2+MD^2+MA’^2+MB’^2+MC’^2+MD’^2$Chứng minh rằng $T=8MO^2+2(a^2+b^2+c^2)$. Hãy xác định vị trí của điểm $M$ để $T$ đạt giá trị bé nhất.
Theo công thức tính độ dài trung tuyến lần lượt trong các tam giác $MAC’, MBD’, MCA’$ và $MDB’$, ta có:$MA^2+MC’^2=2MO^2+\frac{AC’^2}{2}=2MO^2+\frac{AA’^2+A’C’^2}{2}=2MO^2+\frac{c^2+a^2+b^2}{2}$$MB^2+MD’^2=2MO^2+\frac{BD’^2}{2}=2MO^2+\frac{c^2+a^2+b^2}{2}$$MC^2+MA’^2=2MO^2+\frac{A’C^2}{2} =2MO^2+\frac{c^2+a^2+b^2}{2}$$MD^2+MB’^2=2MO^2+\frac{B’D^2}{2}=2MO^2+\frac{c^2+a^2+b^2}{2}$Cộng vế theo vế bốn đẳng thức trên ta được:$T =MA^2+MB^2+MC^2+MD^2+MA’^2+MB’^2+MC’^2+MD’^2$$=8MO^2+2(a^2+b^2+c^2).$ Từ hệ thức trên ta suy ra $T$ đặt giá trị bé nhất khi và chỉ khi $MO=0$, tức là khi $M$ trùng […]
Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có tất cả các cạnh cùng bằng nhau. Chứng minh rằng $AC\bot B’D’$. Nếu thêm giả thiết$\widehat{ABC}=\widehat{B’BA}=\widehat{B’BC}=60^0$Hãy chứng minh $A’B’CD$ là hình vuông.
Ta có $AC\parallel A’C’$ và $A’B’C’D’$ là hình thoi nên $A’C’ \perp B’D’$. Mà $A’C’ \parallel AC$. Do đó $AC \perp B’D’$.Bây giờ, nếu thêm giả thiết $\widehat{ABC}=\widehat{B’BA}=\widehat{B’BC}=60^0$, ta có $A’B’CD$ là hình bình hành và $B’C=a=CD$ nên $A’B’CD$ là hình thoi. Ta lại có $\overrightarrow{CB’}.\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BB’}).\overrightarrow{BA} $$=\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BB’}.\overrightarrow{BA}=-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}=0. $Vậy $CB’$ vuông góc […]
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Lấy $M, N$ lần lượt trên các cạnh $SB, SD$ sao cho: $\frac{{SB}}{{BM}} = \frac{{SN}}{{DN}} = 2$$1$. Mặt phẳng $(AMN)$ cắt cạnh $SC$ tại $P$. Tính tỉ số: $\frac{{SP}}{{CP}}$$2$. Tính thể tích hình chóp $S.AMPN$ theo thể tích $V$ của hình chóp $SABCD.$
$1)$ Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD; G$ là giao điểm $SI$ và $MN$, ta có: $\frac{{SG}}{{SI}} = \frac{2}{3}$$A, G, P$ thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến $(AMN) \cap (SAC)$$G$ là trọng tâm tam giác $SAC$ suy ra $P$ là trung điểm của $SC.$Vậy $\frac{{SP}}{{CP}} = 1$$2$) Ta có: ${V_{SAMNP}} = […]
Trong mặt phẳng ($P$) cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a, S$ là một điểm bất kì nằm trên đường thẳng $At $ vuông góc với mặt phẳng $(P$) tại $A$.$1.$ Tính theo $a$ thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ khi $SA = 2a$.$2$. $M, N$ lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh $CB, CD (M \in CB ;\,\,N \in CD)$ và đặt $CM = m, CN = n$. Tìm một biểu thức liên hệ giữa $m$ và $n$ để các mặt phẳng $(SMA)$ và $(SAN)$ tạo với nhau một góc ${45^0}$
$1.$ Do định lý ba đường vuông góc ta có : góc $(SDC)=90^0$$\Rightarrow $ hình chóp $S.ABCD$ nội tiếp hình cầu đường kính $SC$Ta có : $AC^2=2a^2; SA^2=(2a)^2$$\Rightarrow SC^2=2a^2+4a^2=6a^2\Rightarrow SC=a\sqrt{6} $$\Rightarrow $thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ bằng$V=\frac{4}{3}\pi(\frac{a\sqrt{6} }{2} )^3=a^3\sqrt{6}\pi $$2.$ Ta có $SA\bot NA;SA\bot MA$$\Rightarrow $các mặt phẳ ng $(SAM)$ và […]
Trên hai mặt phẳng $(P)$ và $(P’)$ song song nhau, ta vẽ tương ứng hai đường tròn $(O, R)$ và $(O’, R’)$, với $OO’\bot (P)$. Gọi $OA$ và $O’B$ theo thứ tự là hai bán kính của hai đường tròn trên sao cho $OA\bot OB$. Cho $OO’=h$.a) Vẽ đường vuông góc chung của $AB$ và $OO’$.b) Chứng minh đường vuông góc chung này qua một điểm cố định. Hãy tìm quỹ tích đầu mút di động của đoạn vuông góc chung này.
a) Vẽ $A’A\parallel O’O ( A’ \in (P’))$ thì $A’A\bot (P’)$ nên $A’A\bot O’I$. Vẽ $O’I\bot A’B(I\in A’B)$, ta suy ra $O’I\bot$ mp$(ABA’)$ nên $O’I\bot A’B$. Vẽ $IJ\parallel A’A(J\in AB)$ và $JK\parallel O’I(K\in O’O)$, suy ra $KJ\bot AB$ và $KJ\bot O’O$. Vậy $KJ$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $O’O$. b) Để […]
Gọi $O$ là tâm hình thoi $ABCD$ cạnh $a$ với $OB=\frac{a\sqrt{3} }{3} $. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại $O$ lấy điểm $S$ với $SB=a$a) Chứng minh rằng tam giác $SAC$ vuông và $SC\bot BD$b) Tính góc phẳng nhị diện cạnh $SA$ và tính khoảng cách giữa $SA$ và $BD$
a) Ta có: $OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3} }=\frac{a\sqrt{6} }{3} $ $SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3} }=\frac{a\sqrt{6} }{3} $ $OS=OA+OC\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $S$ Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} BD\bot AC\\ BD\bot SO \end{array} \right. \Rightarrow BD\bot (SAC)\Rightarrow BD\bot SC$ b) Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như sau: – Gốc $O$ là tâm hình thoi – Trục $Ox$ đi qua $OA$ – […]