a) Trong mọi tam giác $ABC$ đều có:
$\tan (\frac{A+B}{2})=\cot \frac{C}{2}=\frac{1}{\tan \frac{C}{2} }$, suy ra $\frac{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2} }{1-\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} }=\frac{1}{\tan \frac{C}{2} }$
Từ đó: $\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2}=1$
$\Leftrightarrow \frac{1}{\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}}+\frac{1}{\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2} }+\frac{1}{\cot \frac{C}{2}\cot \frac{A}{2} }=1$
$\Leftrightarrow \frac{\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2} }{\cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}}=1.$
b) Giả thiết $\cos C(\sin A+\sin B)=\sin C.\cos(A-B)$ tương đương với:
$2 \cos C \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}=2 \sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}(2 \cos^2 \frac{A-B}{2}-1)$
$\Leftrightarrow \cos C \cos \frac{A-B}{2}=\sin \frac{C}{2}(2 \cos^2 \frac{A-B}{2}-1)$
$\Leftrightarrow (1-2 \sin^2 \frac{C}{2}) \cos \frac{A-B}{2}=\sin \frac{C}{2}(2 \cos^2 \frac{A-B}{2}-1)$
$\Leftrightarrow \cos \frac{A-B}{2}+\sin \frac{C}{2}=2 \sin^2 \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2}+2 \sin \frac{C}{2}\cos^2 \frac{A-B}{2}$
$=2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2}( \cos \frac{A-B}{2}+\sin \frac{C}{2}).$
Vì $\cos \frac{A-B}{2}+\sin \frac{C}{2}\neq 0$ nên đẳng thức trên tương đương với:
$2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2}=1\Leftrightarrow 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}=1$
$\Leftrightarrow \cos A+\cos B=1$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Chứng minh đẳng thức: $\cos^6x+\sin^6x=1-3\sin^2x\cos^2x$
- Tìm các giá trị lượng giác $x$. Biết $x\in (\frac{\pi}{2};\pi)$ và $\cos x=-\frac{3}{5}$
- Chứng minh đẳng thức: $\frac{\sin x+\cos x-1}{1-\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x-\cos x+1}$
- Không dùng bảng và máy tính, hãy tìm giá trị lượng giác của các góc $4815^o$ và $\frac{185\pi}{6}.$
- Chứng minh $ \cot y – \cot 2y = \frac{1}{\sin 2y} $
- Cho $\sin x +\cos x=a$.a) Tính $A=\sin^3 x+\cos ^3 x $ theo $a $.b) Tính $B=\sin^4 x+\cos ^4 x $ theo $a$.
- Trong tam giác $ABC$, các số $\tan A, \tan B, \tan C$ thỏa mãn: $\tan A+\tan C=2 \tan B.$Tìm giá trị nhỏ nhất của góc $B$.
- Cho $ \frac{ \sin ( x -\alpha) }{\sin (x-\beta ) } = \frac{ a}{b }; \frac{ \cos (x-\alpha )}{\cos (x-\beta) }=\frac{ A}{B} $ với $aB+bA \neq 0$ Chứng minh rằng : $\cos (\alpha – \beta )=\frac{aA+bB }{aB+bA } (1) $
- Cho $m \sin (a+b)=\cos (a-b)$ trong đó $a – b \neq$ $k \pi$ ( $k \in Z$ ) và $m \neq \pm 1. $Chứng minh rằng : $M= \frac{ 1}{ 1 – m\sin 2a } + \frac{ 1}{ 1 – m \sin 2b } $ không phụ thuộc vào $a$ và $b$.