Cho hệ phương trình:   $ \begin{cases}\cos x=x^2 \\ y\tan y=1 \end{cases}$Chứng minh rằng hệ phương trình có cặp nghiệm duy nhất $(x;y)$ thỏa mãn $ 0

12/11/2019 by Baitap.net

*     Xét hàm số  $ f(x)=\cos x-x^2,  x \in R$ có $ f(0).f(1)                                 $f(\alpha)=0   \Leftrightarrow      \cos\alpha=\alpha^2                 (1)$
Trong khoảng $(0;1)$ hàm số $\cos x$ giảm và hàm số $x^2$ tăng nên $ \alpha \in (0;1)$ là số thực duy nhất thỏa mãn $ \cos\alpha=\alpha^2$
 *     Hàm số $g(x)=x\tan x-1$ là hàm số tăng trên $(0;1)$ và $ g(0).g(1)                                   $ g(\beta)=0   \Leftrightarrow    \beta\tan\beta=1                  (2)$
 Khi đó, từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:
             $ g(\alpha)=\alpha\tan\alpha-1=\alpha\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{\sin \alpha}{\alpha}-1   $\Rightarrow     g(\alpha)