Dễ dàng thấy với $0 \leq \alpha Thay $\alpha=\frac{\pi}{112} $ vào $(1)$ , ta được:
$\cot \frac{\pi}{12}=\cot \frac{\pi}{6}+\sqrt{1+\cot^2 \frac{pi}{6} }=\sqrt[]{3}+\sqrt[]{4} $
Thay $\alpha=\frac{\pi}{24} $ vào $(1)$, ta được:
$\cot \frac{\pi}{24} =\cot \frac{\pi}{12}+\sqrt[]{1+\cot^2 \frac{\pi}{12} } =\sqrt[]{3}+\sqrt[]{4}+\sqrt[]{1+7+2\sqrt[]{12} } $
$=\sqrt[]{3}+\sqrt[]{4}+\sqrt[]{(\sqrt[]{2}+\sqrt[]{6})^2}=\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}+\sqrt[]{4}+\sqrt[]{6} $
Mặt khác, dễ dàng chứng minh được: $\sin \frac{\pi}{10}=\sin 18^0=\frac{\sqrt[]{5}-1 }{4}, \cos 36^0=\frac{\sqrt[]{5}+1 }{4} $
Vậy $4\cos \frac{\pi}{5}+\cot \frac{\pi}{24}=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+\sqrt{6} $
ĐS: $A=1$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Chứng minh đẳng thức: $\cos^6x+\sin^6x=1-3\sin^2x\cos^2x$
- Tìm các giá trị lượng giác $x$. Biết $x\in (\frac{\pi}{2};\pi)$ và $\cos x=-\frac{3}{5}$
- Chứng minh đẳng thức: $\frac{\sin x+\cos x-1}{1-\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x-\cos x+1}$
- Không dùng bảng và máy tính, hãy tìm giá trị lượng giác của các góc $4815^o$ và $\frac{185\pi}{6}.$
- Chứng minh $ \cot y – \cot 2y = \frac{1}{\sin 2y} $
- Cho $\sin x +\cos x=a$.a) Tính $A=\sin^3 x+\cos ^3 x $ theo $a $.b) Tính $B=\sin^4 x+\cos ^4 x $ theo $a$.
- Cho $A, B, C$ là $3$ góc của một tam giác.a) Chứng minh: $\frac{\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2} }{\cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}}=1.$b) Giả sử $\cos C(\sin A+\sin B)=\sin C.\cos(A-B).$ Hãy tính $\cos A+\cos B$.
- Trong tam giác $ABC$, các số $\tan A, \tan B, \tan C$ thỏa mãn: $\tan A+\tan C=2 \tan B.$Tìm giá trị nhỏ nhất của góc $B$.
- Cho $ \frac{ \sin ( x -\alpha) }{\sin (x-\beta ) } = \frac{ a}{b }; \frac{ \cos (x-\alpha )}{\cos (x-\beta) }=\frac{ A}{B} $ với $aB+bA \neq 0$ Chứng minh rằng : $\cos (\alpha – \beta )=\frac{aA+bB }{aB+bA } (1) $