Ta có: $\sin18^ \circ = \sin\frac{\pi}{10}=\cos\frac{2\pi}{5}$
Nhưng $2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}=\sin\frac{2\pi}{5}; 2\sin\frac{2\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}=\sin\frac{4\pi}{5}=\sin\frac{\pi}{5}$
Nhân từng vế hai đẳng thức này ta được: $\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{1}{4}$
Mặt khác $\cos\frac{\pi}{5}-\cos\frac{2\pi}{5}=2\sin\frac{3\pi}{10}\sin\frac{\pi}{10}=2\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{1}{2}$
Nếu đặt $\sin\frac{\pi}{10}=\cos\frac{2\pi}{5}=x; \cos\frac{\pi}{5}=y$ ta có $y-x=\frac{1}{2}; xy=\frac{1}{4}$
Nhưng $(x+y)^2=(x-y)^2+4xy=\frac{5}{4}$ do đó $x+y=\frac{\sqrt{5}}{2}$ nên $x=\sin\frac{\pi}{10}=\sin18^ \circ =\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- 1. Chứng minh : $\cos {136^ \circ }<\tan {153^ \circ }$2, Tính :$\sin {15^ \circ } $ và $\cos {15^ \circ }$
- Chứng minh đẳng thức:$$\frac{1}{\sin^2a}+\frac{1}{\sin^2b}-\frac{2\cos(a-b)}{\sin a\sin b}=\frac{\sin^2(a-b)}{\sin^2a\sin^2b}$$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$T=\frac{\sin a-\sin b}{1-\sin a\sin b}$
- Cho góc lượng giác $(Ox;Ot)=\frac{2\pi}{7}$. Trong đó các góc lượng giác có tia đầu $Ox$ và có số đo theo thứ tự là: $5427^o, -1300^o, 1130^o, \frac{219\pi}{7}, -\frac{180\pi}{7}$ có những góc nào có cùng tia cuối với góc đã cho?
- Tìm độ dài các cung của đường tròn bán kính $5$cm có số đo theo thứ tự là: $\frac{2\pi}{5}; 1,4; 60^o, 78^o$.
- Cho $(Ox;Oy)=405^o+k2\pi$. Hãy tìm các góc lượng giác có tia đầu $Ox$ và tia cuối $Oy$ có số đo bằng độ mà giá trị tuyệt đối không vượt quá $1200$
- Tìm số đo bằng độ các góc có số đo bằng radian sau: $3,9 ; 0,75; \frac{4\pi}{9}$
- Tìm số đo theo đơn vị radian các góc có số đo bằng độ lần lượt là $18^o,75^o,65^o,16^o34’$.
- Biểu diễn điểm ngọn của cung $x = \pm \frac{\pi}{15}+k\frac{2\pi}{5}, k\in Z $ trên đường tròn của lượng giác.