Tính $\sin18^ \circ $

Ta có: $\sin18^ \circ = \sin\frac{\pi}{10}=\cos\frac{2\pi}{5}$

Nhưng $2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}=\sin\frac{2\pi}{5}; 2\sin\frac{2\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}=\sin\frac{4\pi}{5}=\sin\frac{\pi}{5}$

Nhân từng vế hai đẳng thức này ta được: $\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{1}{4}$

Mặt khác  $\cos\frac{\pi}{5}-\cos\frac{2\pi}{5}=2\sin\frac{3\pi}{10}\sin\frac{\pi}{10}=2\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{1}{2}$

Nếu đặt $\sin\frac{\pi}{10}=\cos\frac{2\pi}{5}=x;  \cos\frac{\pi}{5}=y$ ta có $y-x=\frac{1}{2}; xy=\frac{1}{4}$

Nhưng $(x+y)^2=(x-y)^2+4xy=\frac{5}{4}$ do đó $x+y=\frac{\sqrt{5}}{2}$ nên $x=\sin\frac{\pi}{10}=\sin18^ \circ =\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$