Biết rằng số $\pi $ là một số vô tỉ. Dùng phản chứng, hãy chứng minh rằng trong khai triển thập phân của số $\pi = 3,1415…$ sẽ có một chữ số xuất hiện vô hạn lần.

Giả sử ngược lại là kết luận của bài toán sai. Khi đó mỗi chữ số $i \in \left\{ {0, 1, …, 9} \right\}$ chỉ xuất hiện hữu hạn lần. Giả sử $a_i$ là số lần xuất hiện của chứ số $i$ sau dấu phẩy trong triển khai thập phân của số $\pi $. Như vậy số $\pi $ có đúng $a_1 + a_2 + …+ a_9$ chữ số sau dấu phẩy trong khai triển thập phân của nó. Vậy $\pi$ phải là một số hữu tỉ, vô lí, vì ta biết rằng số $\pi$ là một số vô tỉ.

Chú ý. Bài toán này có thể cải biên bằng cách thay số $\pi$ bằng bất cứ số vô tỉ nào, chẳng hạn, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}, … $