• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar

Bài Tập Toán Lý Hóa Sinh Tiếng Anh

Tập hợp bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Tiếng Anh, Sử, Địa, GDCD, Văn Phổ thông

  • Môn Toán
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Sinh
  • Môn Anh
  • Môn Văn
  • Môn Sử
  • Môn Địa
  • Môn GDCD
  • Môn Công nghệ
  • Môn Tin học

Cho $d$ là ước số chung lớn nhất của $2$ số $a$ và $b$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $m$ và $n$ sao cho  $ am +bn =d$.

10/01/2020 by Baitap.net Để lại bình luận

Đề bài:
Cho $d$ là ước số chung lớn nhất của $2$ số $a$ và $b$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $m$ và $n$ sao cho  $ am +bn =d$.
Lời giải

Gọi d’ > 0 là giá trị nhỏ nhất của số có dạng (am + bn),với m,n thuộc Z, và m, n độc lập với nhau: $ {\rm{d’ }} = {\rm{ am }} + {\rm{ bn’}} $
Giả sử  $ {\rm{am }} + {\rm{ bn}} \vdots {\rm{d’}} $  $ \begin{array}{l} \Leftrightarrow {\rm{am }} + {\rm{ bn  = d’q  +  r}}
{\rm{q}} \in {\rm{N,r}} \in {\rm{Z,r \end{array} $
Do đó : $ r = {\rm{am }} + {\rm{ bn – (am’ }} + {\rm{ bn’}})q \Leftrightarrow r = {\rm{a(m  –  m’}}q) + b(n – n’q) $
Điều này có nghĩa là tồn tại một số r > 0 có dạng (am + bn) và r Vậy :  $ {\rm{am }} + {\rm{ bn}} \vdots {\rm{d’}} $  $  \Leftrightarrow {\rm{d’}} | {{\rm{am }} + {\rm{ bn}}}  $
Ta chọn  $ {\rm{m }} = {\rm{ 1 }};{\rm{ n }} = {\rm{ }}0 $  $  \Rightarrow d\left| {a.1 + b.0 = a} \right. $
Ta lại chọn  $ {\rm{m }} = {\rm{ }}0,{\rm{ n }} = {\rm{ 1 }}: $  $  \Rightarrow d’\left| b \right. $
Do đó d’ là ước số chung của a và b $  \Leftrightarrow d’\left| {d = (a,b)} \right. $                                 (1)
Mặt khác $ \begin{array}{l}
d = (a,b) \Rightarrow d\left| {a \wedge d} \right|b \Rightarrow d\left| {am + bn} \right.\\
\forall m,n \in Z\\
 \Rightarrow d\left| {d’} \right. &  &  &  &  & (2)
\end{array} $                        
Từ (1), và (2)  $  \Rightarrow d = d’ $ (đpcm)

Câu trắc nghiệm liên quan:

  1. Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên  $ 15x^2 – 7y^2= 9 $
  2. Chứng minh rằng không có số nguyên tố nào lớn nhất. (hay : Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên tố là một tập hợp vô hạn )

Thuộc chủ đề:Mệnh đề - Tập hợp Tag với:Áp dụng mệnh đề vào suy... Phương pháp phản chứng

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính




Baitap.net (c) 2019 - Bài Tập Toán Lý Hóa Sinh Anh -Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Bảo mật
Học Toán - Học Trắc nghiệm - Ebook Toán - Học Giải - Mon Toán - Giai bai tap hay - Lop 12 - - HocZ Net -