Cho trước tập hợp $A$. Tìm tập $X$ thỏa mãn hệ thức $X\bigcap A = X\bigcup A$

Giả sử ta có phần tử $x\in X$, như vậy $x\in X\bigcup A$.
Theo giả thiết $X\bigcup A=X\bigcap A$ nên x cũng thuộc $X\bigcap A$
vì $x\in X\bigcap A$ nên $x\in A$.
Từ sự kiện $x\in X      \Rightarrow   x\in A$. Vậy $X\subset A$.                                 (1)
Gọi $a$ là phần tử của $A$
$a\in
A            \Rightarrow  a\in  X\bigcup A$   mà $X\bigcup A = X\bigcap
A$    nên  $a\in  X\bigcap A     \Rightarrow  a\in  X$.
Từ sự kiện $a\in A    \Rightarrow a\in X $.     Vậy $A\subset X$.                                  (2)
Từ (1),(2) suy ra $X = A$