Chứng minh rằng không có số nguyên tố nào lớn nhất. (hay : Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên tố là một tập hợp vô hạn )

Giả sử  $ {P_n} $  là số nguyên tố lớn nhất, ta gọi p là tích của n số nguyên tố đã biết : $ \begin{array}{l}
p = {p_1}{p_2}….{p_n}\\

\end{array} $
Đặt  $ A = p + 1 \Rightarrow A > {p_n} $
Do đó A là một hợp số.
Ta suy ra A có ít nhất một ước số nguyên tố $ d \Rightarrow d \le {p_n} \Rightarrow d\left| {p \Rightarrow d} \right|1, $ vô lí.
Vậy không có số nguyên tố nào là lớn nhất.