Chưng minh rằng không thể có hai số nguyên m , n để đẳng thức sau được thỏa măn: $2m^{2} + n^{2}  =  2007$.

Giả sử có hai số nguyên $m$, $n$  để:     $2m^2 + n^2  =  2007$    (*)
Vì $2m^2$ là số chẵn, ta suy ra $n^2$ phải là số lẻ hay $n$ phải là số lẻ,  $n = 2a + 1$   ($a \in \mathbb{Z} $).
(*) $\Leftrightarrow 2m^2 + (2a + 1)^2 = 2007     \Rightarrow  2m^2 + 4a^2 + 4a + 1 = 2007$
                                                                     $\Rightarrow 2m^2 + 4a^2 + 4a  = 2006$
Vì $4a^2 + 4a$ chia hết cho $4$ và $2006$ không chia hết cho 4.
Suy ra $2m^2$ không chia hết cho $4$ hay $m^2$ không chia hết cho $2 \Rightarrow $ $m^2$ là số lẻ. Đặt $m = 2b + 1$, ta có:                               $2(2b + 1)^2 + 4a(a+1)   = 2006$
                          $\Rightarrow    8b^2 + 8b +2 + 4(a + 1)a = 2006$
                          $\Rightarrow    8b(b + 1) + 4a(a + 1)       = 2004$.
Dễ thấy $8b(b+1) $ chia hết cho $8; 4a(a + 1)$ cũng chia hết cho $8$ còn 2004 không chia hết cho $8$. Mâu thuẫn này cho ta đpcm.