Nguyên hàm - Tích Phân

Đề bài:  Tính \(I = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{3\sin x + 4\cos x}}{{3{{\sin }^2}x + 4{{\cos }^2}x}}dx} \) Lời giải  \(I = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{3\sin x + 4\cos x}}{{3{{\sin }^2}x + 4{{\cos }^2}x}}dx}  = 3\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin {\rm{x}}dx}}{{3{{\sin }^2}x + 4{{\cos }^2}x}} + 4} \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\cos xdx}}{{3{{\sin }^2}x + 4{{\cos }^2}x}}}=I_1+I_2  \)Trong đó :\({I_1} = […]

Đề bài: Cho $ I_n = \int\limits \ln ^n xd , n \in  N$, Tính  $I_1,I_2,I_3.$ Lời giải Cần giải chi tiết  $I_1 = x\ln x – x + C$$I_2 = x\ln ^2 x – 2x \ln x + 2x + C$$I_3 = x(\ln ^3 x – 3\ln ^2x +6 \ln x – 6)+C$

Đề bài: Đặt $S_n = \frac{1}{n}\left ( \frac{1}{1+\sin \frac{\pi}{2n} }+ \frac{1}{1 + \sin \frac{2\pi}{2n} } + …+ \frac{1}{1+ \sin \frac{n\pi}{2n} }    \right )$ Tìm $ \mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty  } S_n.$ Lời giải Xét hàm số : $ f(x) = \frac{2}{\pi } . \frac{1}{1 + \sin x}, x \in  \left [ 0;\frac{\pi}{2}  \right ]$* […]

Đề bài: Tính các tích phân sau:$1. S=\int\limits_{0}^{1}\frac{xdx}{(x+1)^2}  $$2. J=\int\limits_{1}^{4}\frac{1}{x^2(x+1)}dx  $ Lời giải

Đề bài: Tính tích phân:   $I=\int\limits_{1}^{2} \frac{x^2+1}{x^4+1}dx $ Lời giải $I=\int\limits_{1}^{2}\frac{x^2+1}{x^4+1}dx=\int\limits_{1}^{2}\frac{(1+\frac{1}{x^2} )dx}{x^2+\frac{1}{x^2} } (chia  cả  tử  và  mẫu  cho  x^2)$    $=\int\limits_{1}^{2}\frac{d(x-\frac{1}{x})}{(x-\frac{1}{x})^2+2 }=\frac{1}{{\sqrt{2}} }\arctan (\frac{x-\frac{1}{x} }{{\sqrt{2}} } )|_1^2  $$I=\frac{1}{{\sqrt{2}} }\arctan \frac{x^2-1}{{\sqrt{2}x} }|_1^2=\frac{1}{{\sqrt{2}} }(\arctan \frac{3}{2 {\sqrt{2}} }-\arctan 0 )$    $=\frac{1}{{\sqrt{2}} }\arctan \frac{3}{2 {\sqrt{2}}  }     $

Đề bài: Tính tích phân:   $I=\int\limits_{1}^{3}\frac{dx}{{\sqrt{x+1}}+{\sqrt{x-1}} }  $ Lời giải $I=\int\limits_{1}^{3}\frac{dx}{{\sqrt{x+1}}+{\sqrt{x-1}}}=\int\limits_{1}^{3}\frac{({\sqrt{x+1}}+{\sqrt{x-1}})dx}{{(\sqrt{x+1}}+{\sqrt{x-1}})({\sqrt{x+1}}+{\sqrt{x-1}})} $$I=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}(\sqrt{x+1}-{\sqrt{x-1}})dx=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{\sqrt{x+1}}d(x+1)-\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{\sqrt{x-1}}d(x-1)$$I=\frac{1}{3}(x+1)^{\frac{3}{2} }|_1^3-\frac{1}{3}(x-1)^{\frac{3}{2} }|_1^3=\frac{1}{3}(8-2 {\sqrt{2}})-\frac{1}{3}(2 {\sqrt{2}}-0)=\frac{4}{3}(2-2 {\sqrt{2}})$