Đề bài: Tính \(I = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{3\sin x + 4\cos x}}{{3{{\sin }^2}x + 4{{\cos }^2}x}}dx} \) Lời giải \(I = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{3\sin x + 4\cos x}}{{3{{\sin }^2}x + 4{{\cos }^2}x}}dx} = 3\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin {\rm{x}}dx}}{{3{{\sin }^2}x + 4{{\cos }^2}x}} + 4} \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\cos xdx}}{{3{{\sin }^2}x + 4{{\cos }^2}x}}}=I_1+I_2 \)Trong đó :\({I_1} = […]
Nguyên hàm - Tích Phân
Cho $ I_n = \int\limits \ln ^n xd , n \in N$, Tính $I_1,I_2,I_3.$
Đề bài: Cho $ I_n = \int\limits \ln ^n xd , n \in N$, Tính $I_1,I_2,I_3.$ Lời giải Cần giải chi tiết $I_1 = x\ln x – x + C$$I_2 = x\ln ^2 x – 2x \ln x + 2x + C$$I_3 = x(\ln ^3 x – 3\ln ^2x +6 \ln x – 6)+C$
Đặt $S_n = \frac{1}{n}\left ( \frac{1}{1+\sin \frac{\pi}{2n} }+ \frac{1}{1 + \sin \frac{2\pi}{2n} } + …+ \frac{1}{1+ \sin \frac{n\pi}{2n} } \right )$ Tìm $ \mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty } S_n.$
Đề bài: Đặt $S_n = \frac{1}{n}\left ( \frac{1}{1+\sin \frac{\pi}{2n} }+ \frac{1}{1 + \sin \frac{2\pi}{2n} } + …+ \frac{1}{1+ \sin \frac{n\pi}{2n} } \right )$ Tìm $ \mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty } S_n.$ Lời giải Xét hàm số : $ f(x) = \frac{2}{\pi } . \frac{1}{1 + \sin x}, x \in \left [ 0;\frac{\pi}{2} \right ]$* […]
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=(\tan^2x+\tan x+1)e^x$
Đề bài: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=(\tan^2x+\tan x+1)e^x$ Lời giải
Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x)=\frac{x^2-3}{x(x^4+3x^2+2)} $
Đề bài: Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x)=\frac{x^2-3}{x(x^4+3x^2+2)} $ Lời giải Đặt $t=x^2$ suy ra: $dt=2xdx ; \frac{x^2-3}{x(x^4+3x^2+2)}dx =\frac{(t-3)dt}{t(t+1)(t+2)} $ Khi đó: $\int\limits f(x)dx=\int\limits \frac{t-3}{t(t+1)(t+2)}dt $ Ta có: $\frac{t-3}{t(t+1)(t+2)}=\frac{a}{t}+\frac{b}{t+1}+\frac{c}{t+2}=\frac{(a+b+c)^2+(3a+2b+c)t+2a}{t(t+1)(t+2)} $ Đồng nhất thức ta có: $\begin{cases}a+b+c=0 \\ 3a+2b+c=1 \\2a=-3\end{cases} \leftrightarrow […]
Tính các tích phân sau:$1. S=\int\limits_{0}^{1}\frac{xdx}{(x+1)^2} $$2. J=\int\limits_{1}^{4}\frac{1}{x^2(x+1)}dx $
Đề bài: Tính các tích phân sau:$1. S=\int\limits_{0}^{1}\frac{xdx}{(x+1)^2} $$2. J=\int\limits_{1}^{4}\frac{1}{x^2(x+1)}dx $ Lời giải
Tính tích phân: $I=\int\limits_{1}^{2} \frac{x^2+1}{x^4+1}dx $
Đề bài: Tính tích phân: $I=\int\limits_{1}^{2} \frac{x^2+1}{x^4+1}dx $ Lời giải $I=\int\limits_{1}^{2}\frac{x^2+1}{x^4+1}dx=\int\limits_{1}^{2}\frac{(1+\frac{1}{x^2} )dx}{x^2+\frac{1}{x^2} } (chia cả tử và mẫu cho x^2)$ $=\int\limits_{1}^{2}\frac{d(x-\frac{1}{x})}{(x-\frac{1}{x})^2+2 }=\frac{1}{{\sqrt{2}} }\arctan (\frac{x-\frac{1}{x} }{{\sqrt{2}} } )|_1^2 $$I=\frac{1}{{\sqrt{2}} }\arctan \frac{x^2-1}{{\sqrt{2}x} }|_1^2=\frac{1}{{\sqrt{2}} }(\arctan \frac{3}{2 {\sqrt{2}} }-\arctan 0 )$ $=\frac{1}{{\sqrt{2}} }\arctan \frac{3}{2 {\sqrt{2}} } $
Tính tích phân: $I=\int\limits_{1}^{3}\frac{dx}{{\sqrt{x+1}}+{\sqrt{x-1}} } $
Đề bài: Tính tích phân: $I=\int\limits_{1}^{3}\frac{dx}{{\sqrt{x+1}}+{\sqrt{x-1}} } $ Lời giải $I=\int\limits_{1}^{3}\frac{dx}{{\sqrt{x+1}}+{\sqrt{x-1}}}=\int\limits_{1}^{3}\frac{({\sqrt{x+1}}+{\sqrt{x-1}})dx}{{(\sqrt{x+1}}+{\sqrt{x-1}})({\sqrt{x+1}}+{\sqrt{x-1}})} $$I=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}(\sqrt{x+1}-{\sqrt{x-1}})dx=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{\sqrt{x+1}}d(x+1)-\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{\sqrt{x-1}}d(x-1)$$I=\frac{1}{3}(x+1)^{\frac{3}{2} }|_1^3-\frac{1}{3}(x-1)^{\frac{3}{2} }|_1^3=\frac{1}{3}(8-2 {\sqrt{2}})-\frac{1}{3}(2 {\sqrt{2}}-0)=\frac{4}{3}(2-2 {\sqrt{2}})$
Tìm $I=\int\limits \frac{(8x^3+24x^2+15x)dx}{(8x^2+16x-1) \sqrt{x^2+2x} } $
Đề bài: Tìm $I=\int\limits \frac{(8x^3+24x^2+15x)dx}{(8x^2+16x-1) \sqrt{x^2+2x} } $ Lời giải cần giải chi tiết
Tìm nguyên hàm của hàm số:$f(x)=2\sin^2x.\sin 2x$
Đề bài: Tìm nguyên hàm của hàm số:$f(x)=2\sin^2x.\sin 2x$ Lời giải Chọn hàm số phụ: $g(x)=2\cos^2x.\sin2x$Chọn F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x) và g(x). Ta có: $f(x)+g(x)=2(\sin^2x+\cos^2x)\sin2x=2\sin2x$ $\Rightarrow F(x)+G(x)=2 \int\limits \sin2xdx=-\cos2x+C_1$ $f(x)-g(x)=2(\sin^2x-\cos^2x)\sin2x=-2\cos2x.\sin2x=-\sin4x$ $\Rightarrow F(x)-G(x)=-\int\limits \sin4xdx=\frac{1}{4}\cos 4x+C_2 $Ta được: $\begin{cases}F(x)+G(x)=-\cos2x+C_1 \\ F(x)-G(x)=\frac{1}{4}\cos 4x+C_2 \end{cases} \Rightarrow F(x)=\frac{1}{2}(-\cos2x+\frac{1}{4} \cos4x)+C $