Ba phương trình $ax^2+2bx+c=0;bx^2+2cx+a=0;cx^2+2ax+b=0$ trong đó $a,b,c$ là các số thực bất kì. Chứng minh rằng trong ba phương trình trên tồn tại ít nhất một phương trình có nghiệm.

Đề bài:

Ba phương trình $ax^2+2bx+c=0;bx^2+2cx+a=0;cx^2+2ax+b=0$ trong đó $a,b,c$ là các số thực bất kì. Chứng minh rằng trong ba phương trình trên tồn tại ít nhất một phương trình có nghiệm.

Bài giải:

Gọi $\Delta’_1=b-ac; \Delta’_2=c^2-ab;\Delta’_3=a^2-bc$
Sẽ có $\Delta’_1+\Delta’_2+\Delta’_3=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] \geq 0$
Suy ra trong $3$ số $\Delta’_1, \Delta’_2, \Delta’_3$ có ít nhất một số không âm hay trong ba phương trình đã cho, ít nhất một phương trình có nghiệm (đpcm).