Đề bài:
Cho $a$ là một số tự nhiên. Chứng minh rằng phương trình $ x_1 + 2x_2 + 3x_3 + …. + nx_n = a $ không có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi phương trình : $ y_1 + 2y_2 + 3y_3 + … + ny_n = = a – \frac{n(n+1)}{2} $ không có nghiệm nguyên không âm.
Bài giải:
Xem dãy số: $ {y_1} = {x_1} – 1;{y_2} = {x_2} – 1;y{ _3} = {x_3} – 1;…;{y_n} = {x_n} – 1 $
Ta có : $ {y_1} + 2{y_2} + 3{y_3} + … + n{y_n} = {x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} + …n{x_n} – \frac{{n(n + 1)}}{2} $
Do đó tập các số $ {x_1},{x_2},{x_3},…,{x_n} $ là nghiệm của phương trình : $ {x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} + … + n{x_n} = a $
Khi và chỉ khi tập các số $ {y_1},{y_2},{y_3},…,{y_n} $ là nghiệm của phương trình $ {y_1} + 2{y_2} + 3{y_3} + … + n{y_n} = a – \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} $
Và các $ {x_i}\left( {i = 1,2,3…,n} \right) $ nguyên dương khi và chỉ khi các $ {y_i} $ nguyên không âm. $ \Rightarrow $ đpcm
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với giá trị nào của $a$, phương trình $1 + sin ^2ax =cosx$ có nghiệm duy nhất?
- Giải và biện luận theo tham số $a$ phương trình: $\sqrt{\log_ a\sqrt[4]{ax}+\log_ x \sqrt[4]{ax} }+\sqrt{\log_a\sqrt[4]{\frac{x}{a}}-\log_x\sqrt[4]{\frac{x}{a}}}=\sqrt{\log_ax}. (1)$
- Định m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:\( x^{2}+x=m|2x-2|\)
- Cho phương trình: \(|x+1|+m|x-1|=(m+1)\sqrt{x^2-1}, m\) là tham số.a) Giải và biện luận phương trìnhđã chob) Giải phương trình khi \(m=2\).
- Giải và biện luận theo tham số \(m\) phương trình: \(m\sqrt{x}=m-1\) (1)
- Tùy theo $m$, biện luận số nghiệm của phương trình: $\frac{1}{2}x^2-\ln x-m=0$
- Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số : $\frac{x+1}{x+m+2} – \frac{x-1}{x-m+2} = 0 $
- Người ta định sử dụng hai loại xe có tải trọng $7$ tấn và $5$ tấn để chuyển một đống cát có khối lượng $147$ tấn đến một công trường xây dựng. Hãy xác định cách điều động số lượng xe mỗi loại để thực hiện việc chuyển hết đống cát trong một chuyến.
- Giải và biện luận phương trình theo tham số $m$ $|2x-|2x-1||=-m^2x (1)$
Trả lời