Cho $a$ là một số tự nhiên. Chứng minh rằng phương trình  $ x_1 + 2x_2 + 3x_3 + …. + nx_n = a $  không có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi phương trình : $ y_1 + 2y_2 + 3y_3 + … + ny_n =  = a – \frac{n(n+1)}{2} $  không có nghiệm nguyên không âm.

Đề bài:

Cho $a$ là một số tự nhiên. Chứng minh rằng phương trình  $ x_1 + 2x_2 + 3x_3 + …. + nx_n = a $  không có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi phương trình : $ y_1 + 2y_2 + 3y_3 + … + ny_n =  = a – \frac{n(n+1)}{2} $  không có nghiệm nguyên không âm.

Bài giải:

Xem dãy số: $ {y_1} = {x_1} – 1;{y_2} = {x_2} – 1;y{  _3} = {x_3} – 1;…;{y_n} = {x_n} – 1 $
Ta có : $ {y_1} + 2{y_2} + 3{y_3} + … + n{y_n} = {x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} + …n{x_n} – \frac{{n(n + 1)}}{2} $
Do đó tập các số  $ {x_1},{x_2},{x_3},…,{x_n} $  là nghiệm của phương trình :  $ {x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} + … + n{x_n} = a $
Khi và chỉ khi tập các số  $ {y_1},{y_2},{y_3},…,{y_n} $ là nghiệm của phương trình  $ {y_1} + 2{y_2} + 3{y_3} + … + n{y_n} = a – \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} $
Và các  $ {x_i}\left( {i = 1,2,3…,n} \right) $  nguyên dương khi và chỉ khi các  $ {y_i} $  nguyên không âm. $  \Rightarrow  $ đpcm