Cho $f(x)=(x^2-2mx+1)(x^2+3x+1)+2(m+1)x^2$. Tìm $m$ đểa) $f(x)=0$ có không ít hơn hai nghiệm dương phân biệtb) $f(x) \geq 0, \forall x$

Đề bài:

Cho $f(x)=(x^2-2mx+1)(x^2+3x+1)+2(m+1)x^2$. Tìm $m$ đểa) $f(x)=0$ có không ít hơn hai nghiệm dương phân biệtb) $f(x) \geq 0, \forall x$

Bài giải:

a) Thấy rắng $x=0$ không phải là nghiệm $f(x)=0$. Bởi vậy, chia hai vế cho $x^2>0$, ta có $f(x)=0 \Leftrightarrow (x+\frac{1}{x}-2m)(x+\frac{1}{x}+3)+2(m+1)=0      (1)$
  Đặt $t=x+\frac{1}{x}, |t| \geq 2$, phương trình $(1)$ trở thành $(t-2m)(t+3)+2(m+1)=0$
  $\Leftrightarrow t^2+(3-2m)t+2-4m=0              (2)$
Gọi $h(t)=(t-2m)(t+3)+2(m+1)$
* Xem phương trình $t=x+\frac{1}{x} \Rightarrow x^2-tx+1=0          (3)$
+ Với $|t|=2$ phương trình $(3)$ có các nghiệm kép cùng dấu         $(4)$
+ $\forall |t|>2$, phương trình $(3)$ luôn có hai nghiệm phân biệt cùng dấu          $(5)$
+ Lại có $h(-2)=0 \forall m $, nên $h(t)=(t+2)(t-2m+1)            (6)$
* Từ $(4),(5),(6) \Rightarrow $ Phương trình đã cho có không ít hơn hai nghiệm dương
$\Leftrightarrow $ Phương trình $(2)$ có nghiệm $t>2 \Leftrightarrow h(2)\frac{3}{2}$
b)* Khi $x=0, f(0)=1>0, \forall m$
  * $\forall x \neq 0$, ta có $f(x)=x^2.h(t)$
Bởi vậy $f(x) \geq 0, \forall x \Leftrightarrow h(t) \geq 0, \forall |t| \geq 2       (2)$
Do $(6)$ nên $(7) \Leftrightarrow -2 \leq 2m-1 \leq 2 \Leftrightarrow -\frac{1}{2} \leq m \leq \frac{3}{2}$