Cho $f(x)=(x^2-a)^2-6x^2-4x+2a            (1)$1) Với $a=-1$, giải phương trình $f(x)=0$2) Tìm $a$ để $f(x) \geq 0, \forall x \in R$

Đề bài:

Cho $f(x)=(x^2-a)^2-6x^2-4x+2a            (1)$1) Với $a=-1$, giải phương trình $f(x)=0$2) Tìm $a$ để $f(x) \geq 0, \forall x \in R$

Bài giải:

Viết lại $(1) \Leftrightarrow f_1(a)=a^2-2(x^2-1)a+x^4-6x^2-4x$
Xem $f_1(a)$ là biểu thức đối với ẩn $a$
    $\Delta’_a=(x^2-1)^2-(x^4-6x^2-4x)=(2x+1)^2, a_1=x^2+2x, a_2=x^2-2x-2$
Suy ra $f_1(a)=(a-a_1)(a-a_2)=(a-x^2-2x)(a-x^2+2x+2)$
Hay $f(x)=(x^2-2x-2-a)(x^2+2x-a)$
1) Với $a=-1$ ta có: $f(x)=0 \Leftrightarrow (x^2-2x-1)(x^2+2x+1)=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x=-1}\\
{x=1\pm \sqrt{2}}
\end{array}} \right.$
2) Gọi $h(x)=(x^2-2x-2-a); g(x)=(x^2+2x-a)$
Thấy rằng $\frac{1}{1} \neq \frac{-2}{2}$. Bởi vậy $f(x) \geq 0, \forall x\in R$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x^2-2x-2-a \geq 0, \forall x \\ x^2+2x-a \geq 0, \forall x \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\Delta_1 \leq 0 \\ \Delta_2 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}3+a \leq 0 \\ 1+a \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow 3+a \leq 0 \Leftrightarrow a \leq -3$