Cho hàm số    $y = \frac{1}{3}m{x^3} – (m – 1){x^2} + 3(m – 2)x + \frac{1}{3}$.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 2$.2) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn điều kiện:  ${x_1} + 2{x_2} = 1$.3) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đồng biến trong khoảng $[2;+\infty) $

Đề bài:

Cho hàm số    $y = \frac{1}{3}m{x^3} – (m – 1){x^2} + 3(m – 2)x + \frac{1}{3}$.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 2$.2) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn điều kiện:  ${x_1} + 2{x_2} = 1$.3) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đồng biến trong khoảng $[2;+\infty) $

Bài giải:

$1)$ Dành cho bạn đọc

$2)$ Đầu tiên, ta tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. Điều kiện đó là:
    $y’ = m{x^2} – 2(m – 1)x + 3(m – 2)$  có hai nghiệm phân biệt và $ y’$ đổi dấu qua $2$ nghiệm đó.
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\Delta ‘ = {(m – 1)^2} – 3m(m – 2) =  – 2{m^2} + 4m + 1 > 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
1 – \frac{{\sqrt 6 }}{2} \end{array} \right.$                            $(1)$
Gọi ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của y’, bây giờ ta tìm điều kiện để
        ${x_1} + 2{x_2} = 1$.                        $(2)$
Theo định lý Viet ta có
    ${x_1} + {x_2} = \frac{{2(m – 1)}}{m}$              $ (3)$
    ${x_1}.{x_2} = \frac{{3(m – 2)}}{m}$                 $ (4)$
Từ $(2)$ và $(3)$ ta có:
    $\begin{array}{l}
1 = ({x_1} + {x_2}) + {x_2} = \frac{{2(m – 1)}}{m} + {x_2}\\
 \Rightarrow {x_2} = 1 – \frac{{2(m – 1)}}{m} = \frac{{2 – m}}{m}
\end{array}$
Thế vào $(3)$ ta có:
    ${x_1} = \frac{{2(m – 1)}}{m} – \frac{{2 – m}}{m} = \frac{{3m – 4}}{m}$
Thế biểu thức của ${x_1},{x_2}$  vào $(4)$ ta được:
    $\frac{{2 – m}}{m}.\frac{{3m – 4}}{m} = \frac{{3(m – 2)}}{m} \Rightarrow (m – 2)(6m – 4) = 0$
$ \Leftrightarrow m = 2,{\rm{ m}} = 2/3$ (thỏa mãn $(1)$).

$3)$ Hàm số đã cho đồng biến trong khoảng ${\rm{[}}2{\rm{ ;  + }}\infty {\rm{)}}$ khi và chỉ khi
    $y’ = m{x^2} – 2(m – 1)x + 3(m – 2) \ge 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \ge {\rm{2}}$
$ \Leftrightarrow m({x^2} – 2x + 3) \ge 6 – 2x,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \ge {\rm{2}}$       $(1)$
Do ${x^2} – 2x + 3 = {(x – 1)^2} + 2 > 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x}}$ nên
$(1)$ $ \Leftrightarrow m > \frac{{6 – 2x}}{{{x^2} – 2x + 3}} = \frac{2}{{{{(x – 1)}^2} + 2}} – \frac{{2(x – 2)}}{{{{(x – 1)}^2} + 2}},{\rm{ }}\forall x \ge 0$    $(2)$
Vế phải của $(2)$ $ \le 2/3,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \ge {\rm{2}}$
Dấu “=” đạt được khi $x = 2$, suy ra $m \ge 2/3$