Đề bài:
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}m{x^3} – (m – 1){x^2} + 3(m – 2)x + \frac{1}{3}$.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 2$.2) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn điều kiện: ${x_1} + 2{x_2} = 1$.3) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đồng biến trong khoảng $[2;+\infty) $
Bài giải:
$1)$ Dành cho bạn đọc
$2)$ Đầu tiên, ta tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. Điều kiện đó là:
$y’ = m{x^2} – 2(m – 1)x + 3(m – 2)$ có hai nghiệm phân biệt và $ y’$ đổi dấu qua $2$ nghiệm đó.
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\Delta ‘ = {(m – 1)^2} – 3m(m – 2) = – 2{m^2} + 4m + 1 > 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
1 – \frac{{\sqrt 6 }}{2} \end{array} \right.$ $(1)$
Gọi ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của y’, bây giờ ta tìm điều kiện để
${x_1} + 2{x_2} = 1$. $(2)$
Theo định lý Viet ta có
${x_1} + {x_2} = \frac{{2(m – 1)}}{m}$ $ (3)$
${x_1}.{x_2} = \frac{{3(m – 2)}}{m}$ $ (4)$
Từ $(2)$ và $(3)$ ta có:
$\begin{array}{l}
1 = ({x_1} + {x_2}) + {x_2} = \frac{{2(m – 1)}}{m} + {x_2}\\
\Rightarrow {x_2} = 1 – \frac{{2(m – 1)}}{m} = \frac{{2 – m}}{m}
\end{array}$
Thế vào $(3)$ ta có:
${x_1} = \frac{{2(m – 1)}}{m} – \frac{{2 – m}}{m} = \frac{{3m – 4}}{m}$
Thế biểu thức của ${x_1},{x_2}$ vào $(4)$ ta được:
$\frac{{2 – m}}{m}.\frac{{3m – 4}}{m} = \frac{{3(m – 2)}}{m} \Rightarrow (m – 2)(6m – 4) = 0$
$ \Leftrightarrow m = 2,{\rm{ m}} = 2/3$ (thỏa mãn $(1)$).
$3)$ Hàm số đã cho đồng biến trong khoảng ${\rm{[}}2{\rm{ ; + }}\infty {\rm{)}}$ khi và chỉ khi
$y’ = m{x^2} – 2(m – 1)x + 3(m – 2) \ge 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \ge {\rm{2}}$
$ \Leftrightarrow m({x^2} – 2x + 3) \ge 6 – 2x,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \ge {\rm{2}}$ $(1)$
Do ${x^2} – 2x + 3 = {(x – 1)^2} + 2 > 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x}}$ nên
$(1)$ $ \Leftrightarrow m > \frac{{6 – 2x}}{{{x^2} – 2x + 3}} = \frac{2}{{{{(x – 1)}^2} + 2}} – \frac{{2(x – 2)}}{{{{(x – 1)}^2} + 2}},{\rm{ }}\forall x \ge 0$ $(2)$
Vế phải của $(2)$ $ \le 2/3,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \ge {\rm{2}}$
Dấu “=” đạt được khi $x = 2$, suy ra $m \ge 2/3$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với giá trị nào của $a$, phương trình $1 + sin ^2ax =cosx$ có nghiệm duy nhất?
- Giải và biện luận theo tham số $a$ phương trình: $\sqrt{\log_ a\sqrt[4]{ax}+\log_ x \sqrt[4]{ax} }+\sqrt{\log_a\sqrt[4]{\frac{x}{a}}-\log_x\sqrt[4]{\frac{x}{a}}}=\sqrt{\log_ax}. (1)$
- Định m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:\( x^{2}+x=m|2x-2|\)
- Cho phương trình: \(|x+1|+m|x-1|=(m+1)\sqrt{x^2-1}, m\) là tham số.a) Giải và biện luận phương trìnhđã chob) Giải phương trình khi \(m=2\).
- Giải và biện luận theo tham số \(m\) phương trình: \(m\sqrt{x}=m-1\) (1)
- Tùy theo $m$, biện luận số nghiệm của phương trình: $\frac{1}{2}x^2-\ln x-m=0$
- Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số : $\frac{x+1}{x+m+2} – \frac{x-1}{x-m+2} = 0 $
- Người ta định sử dụng hai loại xe có tải trọng $7$ tấn và $5$ tấn để chuyển một đống cát có khối lượng $147$ tấn đến một công trường xây dựng. Hãy xác định cách điều động số lượng xe mỗi loại để thực hiện việc chuyển hết đống cát trong một chuyến.
- Giải và biện luận phương trình theo tham số $m$ $|2x-|2x-1||=-m^2x (1)$
Trả lời