Cho hàm số  $y = (x + a)^3+ (x + b)^3 – x^3$.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với $a = 1,b= 2$.2) Trong trường hợp tổng quát, các số $a, b$ phải thỏa mãn điều kiện gì để hàm số có cực đại và cực tiểu.?3) Chứng minh rằng với mọi $a, b$ phương trình  $(x + a)^3 + (x + b)^3 – x^3 = 0$ không thể có $3$ nghiệm phân biệt

Đề bài:

Cho hàm số  $y = (x + a)^3+ (x + b)^3 – x^3$.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với $a = 1,b= 2$.2) Trong trường hợp tổng quát, các số $a, b$ phải thỏa mãn điều kiện gì để hàm số có cực đại và cực tiểu.?3) Chứng minh rằng với mọi $a, b$ phương trình  $(x + a)^3 + (x + b)^3 – x^3 = 0$ không thể có $3$ nghiệm phân biệt

Bài giải:

$1)$ Dành cho bạn đọc.

$2)$ $y’ = 3\left[ {{{(x + a)}^2} + {{(x + b)}^2} – {x^2}} \right] = 3\left[ {{x^2} + 2(a + b)x + {a^2} + {b^2}} \right]$
$y’$ là hàm bậc hai của $x$ nên để $y$ có cực đại và cực tiểu thì $y’$ triệt tiêu tại hai điểm phân biệt và đổi dấu  qua hai điểm đó, tức à có biệt thức
    $\Delta ‘ = {(a + b)^2} – {a^2} – {b^2} = 2ab > 0 \Rightarrow ab > 0$.

$3)$ Nếu phương trình $y = 0$ có 3 nghiệm phân biệt thì đồ thị của hàm số $y$  phải cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, do đó y có cực đại và cực tiểu đồng thời ${y_{m{\rm{ax}}}}{y_{\min }} 0$ và $y’ = 0$ tại $x = – (a + b) \pm \sqrt {2ab} $.
$\begin{array}{l}
{y_{m{\rm{ax}}}}{y_{\min }} =  { – {{(b + \sqrt {2ab} )}^3} – {{(a + \sqrt {2ab} )}^3} + {{(a + b + \sqrt {2ab} )}^3}  } \\\
                                 \times \left[ {{{(\sqrt {2ab}  – b)}^3} + {{(\sqrt {2ab}  – a)}^3} – {{(\sqrt {2ab}  – a – b)}^3}} \right]  \\
               = {a^2}{b^2}\left[ {3(a + b) + 4\sqrt {2ab} } \right]\left[ {3(a + b) – 4\sqrt {2ab} } \right]  \\
               = {a^2}{b^2}\left[ {9{{(a + b)}^2} – 32ab} \right] = {a^2}{b^2}\left[ {9{{(a – b)}^2} + 4ab} \right] > 0
\end{array}$
Không thỏa mãn điều kiện ${y_{m{\rm{ax}}}}{y_{\min }} Vậy phương trình $y = 0$ không thể có $3$ nghiệm phân biệt