Đề bài:
Cho hàm số $y = (x + a)^3+ (x + b)^3 – x^3$.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với $a = 1,b= 2$.2) Trong trường hợp tổng quát, các số $a, b$ phải thỏa mãn điều kiện gì để hàm số có cực đại và cực tiểu.?3) Chứng minh rằng với mọi $a, b$ phương trình $(x + a)^3 + (x + b)^3 – x^3 = 0$ không thể có $3$ nghiệm phân biệt
Bài giải:
$1)$ Dành cho bạn đọc.
$2)$ $y’ = 3\left[ {{{(x + a)}^2} + {{(x + b)}^2} – {x^2}} \right] = 3\left[ {{x^2} + 2(a + b)x + {a^2} + {b^2}} \right]$
$y’$ là hàm bậc hai của $x$ nên để $y$ có cực đại và cực tiểu thì $y’$ triệt tiêu tại hai điểm phân biệt và đổi dấu qua hai điểm đó, tức à có biệt thức
$\Delta ‘ = {(a + b)^2} – {a^2} – {b^2} = 2ab > 0 \Rightarrow ab > 0$.
$3)$ Nếu phương trình $y = 0$ có 3 nghiệm phân biệt thì đồ thị của hàm số $y$ phải cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, do đó y có cực đại và cực tiểu đồng thời ${y_{m{\rm{ax}}}}{y_{\min }} 0$ và $y’ = 0$ tại $x = – (a + b) \pm \sqrt {2ab} $.
$\begin{array}{l}
{y_{m{\rm{ax}}}}{y_{\min }} = { – {{(b + \sqrt {2ab} )}^3} – {{(a + \sqrt {2ab} )}^3} + {{(a + b + \sqrt {2ab} )}^3} } \\\
\times \left[ {{{(\sqrt {2ab} – b)}^3} + {{(\sqrt {2ab} – a)}^3} – {{(\sqrt {2ab} – a – b)}^3}} \right] \\
= {a^2}{b^2}\left[ {3(a + b) + 4\sqrt {2ab} } \right]\left[ {3(a + b) – 4\sqrt {2ab} } \right] \\
= {a^2}{b^2}\left[ {9{{(a + b)}^2} – 32ab} \right] = {a^2}{b^2}\left[ {9{{(a – b)}^2} + 4ab} \right] > 0
\end{array}$
Không thỏa mãn điều kiện ${y_{m{\rm{ax}}}}{y_{\min }} Vậy phương trình $y = 0$ không thể có $3$ nghiệm phân biệt
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với giá trị nào của $a$, phương trình $1 + sin ^2ax =cosx$ có nghiệm duy nhất?
- Giải và biện luận theo tham số $a$ phương trình: $\sqrt{\log_ a\sqrt[4]{ax}+\log_ x \sqrt[4]{ax} }+\sqrt{\log_a\sqrt[4]{\frac{x}{a}}-\log_x\sqrt[4]{\frac{x}{a}}}=\sqrt{\log_ax}. (1)$
- Định m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:\( x^{2}+x=m|2x-2|\)
- Cho phương trình: \(|x+1|+m|x-1|=(m+1)\sqrt{x^2-1}, m\) là tham số.a) Giải và biện luận phương trìnhđã chob) Giải phương trình khi \(m=2\).
- Giải và biện luận theo tham số \(m\) phương trình: \(m\sqrt{x}=m-1\) (1)
- Tùy theo $m$, biện luận số nghiệm của phương trình: $\frac{1}{2}x^2-\ln x-m=0$
- Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số : $\frac{x+1}{x+m+2} – \frac{x-1}{x-m+2} = 0 $
- Người ta định sử dụng hai loại xe có tải trọng $7$ tấn và $5$ tấn để chuyển một đống cát có khối lượng $147$ tấn đến một công trường xây dựng. Hãy xác định cách điều động số lượng xe mỗi loại để thực hiện việc chuyển hết đống cát trong một chuyến.
- Giải và biện luận phương trình theo tham số $m$ $|2x-|2x-1||=-m^2x (1)$
Trả lời