Cho phương trình bậc 2: $ f(x) = ax^2 + bx + c = 0 $. Trong đó  $ a,b,c \ne 0 $ và thỏa hệ thức  $ 2a + 3b + 6c = 0 $ (*)1. Tính  $ a,b,c $  theo  $ f(0),f (\frac{1}{2}),  f(1)$. Chứng tỏ  $ f(0),f (\frac{1}{2}),  f(1)$  không cùng dấu.2. Chứng minh rằng phương trình (*) có một nghiệm  $ {x_0} \in (0;1)$ 

Đề bài:

Cho phương trình bậc 2: $ f(x) = ax^2 + bx + c = 0 $. Trong đó  $ a,b,c \ne 0 $ và thỏa hệ thức  $ 2a + 3b + 6c = 0 $ (*)1. Tính  $ a,b,c $  theo  $ f(0),f (\frac{1}{2}),  f(1)$. Chứng tỏ  $ f(0),f (\frac{1}{2}),  f(1)$  không cùng dấu.2. Chứng minh rằng phương trình (*) có một nghiệm  $ {x_0} \in (0;1)$ 

Bài giải:

1.
Ta có : $ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
f\left( 0 \right) = c\\
f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4} + \frac{b}{2} + c\\
f\left( 1 \right) = a + b + c
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2f\left( 1 \right) + 2f\left( 0 \right) – f\left( {\frac{1}{2}} \right)\\
4f\left( {\frac{1}{2}} \right) – f(1) – 3f(0)\\
c = f(0)
\end{array} \right.\\\Rightarrow 2a + 3b + 6c = f\left( 1 \right) + 4f\left( {\frac{1}{2}} \right) + f\left( 0 \right)
\end{array} $
Do đó : (*)  $  \Leftrightarrow f\left( 1 \right) + 4f\left( {\frac{1}{2}} \right) + f\left( 0 \right) = 0 $     (**)
Nếu  $ f\left( 0 \right),f\left( {\frac{1}{2}} \right),f\left( 1 \right) $ cùng dấu thì vế trái của (**) sẽ luôn luôn dương hoặc luôn luôn âm,suy ra (**) không thỏa.
Vậy  $ f\left( 0 \right),f\left( {\frac{1}{2}} \right),f\left( 1 \right) $ không cùng dấu.

2.
Ta suy ra  $ f\left( 0 \right) $  trái dấu với một trong hai biểu thức  $ f\left( {\frac{1}{2}} \right),f\left( 1 \right) $ .
+ Nếu  $ f\left( {\frac{1}{2}} \right),f\left( 1 \right) $  trái dấu $  \Leftrightarrow f\left( {\frac{1}{2}} \right).f\left( 1 \right) + Nếu  $ f\left( 0 \right),f\left( 1 \right) $  trái dấu  $  \Leftrightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) Vậy phương trình luôn luôn có một nghiệm thuộc khoảng (0;1) nếu:  $ 2a + 3b + 6c = 0 $