Đề bài:
Cho phương trình bậc 2: $ f(x) = ax^2 + bx + c = 0 $. Trong đó $ a,b,c \ne 0 $ và thỏa hệ thức $ 2a + 3b + 6c = 0 $ (*)1. Tính $ a,b,c $ theo $ f(0),f (\frac{1}{2}), f(1)$. Chứng tỏ $ f(0),f (\frac{1}{2}), f(1)$ không cùng dấu.2. Chứng minh rằng phương trình (*) có một nghiệm $ {x_0} \in (0;1)$
Bài giải:
1.
Ta có : $ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
f\left( 0 \right) = c\\
f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4} + \frac{b}{2} + c\\
f\left( 1 \right) = a + b + c
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2f\left( 1 \right) + 2f\left( 0 \right) – f\left( {\frac{1}{2}} \right)\\
4f\left( {\frac{1}{2}} \right) – f(1) – 3f(0)\\
c = f(0)
\end{array} \right.\\\Rightarrow 2a + 3b + 6c = f\left( 1 \right) + 4f\left( {\frac{1}{2}} \right) + f\left( 0 \right)
\end{array} $
Do đó : (*) $ \Leftrightarrow f\left( 1 \right) + 4f\left( {\frac{1}{2}} \right) + f\left( 0 \right) = 0 $ (**)
Nếu $ f\left( 0 \right),f\left( {\frac{1}{2}} \right),f\left( 1 \right) $ cùng dấu thì vế trái của (**) sẽ luôn luôn dương hoặc luôn luôn âm,suy ra (**) không thỏa.
Vậy $ f\left( 0 \right),f\left( {\frac{1}{2}} \right),f\left( 1 \right) $ không cùng dấu.
2.
Ta suy ra $ f\left( 0 \right) $ trái dấu với một trong hai biểu thức $ f\left( {\frac{1}{2}} \right),f\left( 1 \right) $ .
+ Nếu $ f\left( {\frac{1}{2}} \right),f\left( 1 \right) $ trái dấu $ \Leftrightarrow f\left( {\frac{1}{2}} \right).f\left( 1 \right) + Nếu $ f\left( 0 \right),f\left( 1 \right) $ trái dấu $ \Leftrightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) Vậy phương trình luôn luôn có một nghiệm thuộc khoảng (0;1) nếu: $ 2a + 3b + 6c = 0 $
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Chứng minh rằng nếu các phương trình $ ax^2 + bx + c = 0 $ và $ a'x^2 + b'x + c = 0 $ có ít nhất một nghiệm chung thì ta có hệ thức : $ (a'c – ac' )^2 = ( a'b – ab' )( cb' – c'b) $
- a) Tìm $m$ để phương trình sau có hai nghiệm dương:$x^2-2(m+2)x+4m+5=0$b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là$\frac{1}{10-\sqrt{ 72} } ; \frac{1}{10+6\sqrt{ 2} } $
- Cho phương trình $(m-1)^2+2mx+m+1=0$Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm âm.
- Giải các phương trình bậc hai:$a) x(x^2-1)(x+2)+1=0 b) x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=3 $
- So sánh các nghiệm của phương trình với số cho tương ứng:a) $x^2-12x-64=0$ và $7$ b) $-3x^2+10x-7=0$ và $5$
- Tìm $m$ để phương trình: $x^2+mx+2m-4=0$ có ít nhất một nghiệm không âm
- Chứng minh rằng : $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$ luôn luôn có nghiệm với mọi $a, b ,c$ .
- Tìm phạm vi thay đổi của $ x,y$ biết rằng $x^2+12xy+4y^2+4x+8y+20=0 (1)$
- Giải các phương trình sau: trong đó $x$ là ẩn, còn $a$ là một góc cho trước:a) $x^2-(\sin a+\cos a)x+\sin a.\cos a=0$b) $x^2-(\tan a+\cot a)x+1=0$
Trả lời