Cho phương trình:  $\sin^23x+ (m^2-3)\sin3x+m^2-4=0$            $(1)$a) Giải phương trình với $m=1$b) Tìm $m$ để phương trình có đúng $4$ nghiệm thuộc $[\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]$

Đề bài:

Cho phương trình:  $\sin^23x+ (m^2-3)\sin3x+m^2-4=0$            $(1)$a) Giải phương trình với $m=1$b) Tìm $m$ để phương trình có đúng $4$ nghiệm thuộc $[\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]$

Bài giải:

Đặt $t=\sin3x$, điều kiện $|t| \leq  1$
Khi đó phương trình có dạng:
$t^2+(m^2-3)t+m^2-4=0  \Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{l} t=-1 \\t=4-m^2 \end{array} \right. $
$ \Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{l} \sin3x=-1 \\\sin3x=4-m^2            \end{array} \right.   \Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}  \\ \sin3x=4-m^2     (2)\end{array} \right. ,k \in \mathbb{Z}$.

a) Với $m=1$, phương trình $(2)$ có dạng:
$\sin3x=3$ vô nghiệm
Vậy với $m=1$ phương trình có nghiệm $x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

b) Trước hết nghiệm
$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3} \in [\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]$ là $x_1=\frac{7\pi}{6}$
Vậy để phương trình $(1)$ có đúng $4$ nghiệm thuộc $[\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]$ điều kiện là phương trình $(2)$ có đúng $3$ nghiệm khác $\frac{7\pi}{6}$ thuộc $[\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]$.
Vì $x \in [\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]  \Leftrightarrow  3x \in [2\pi, 4\pi]$,
do đó điều kiện là:
$\sin3x=0  \Leftrightarrow  4-m^2=0  \Leftrightarrow  m= \pm 2$
Chú ý rằng các phương trình có dạng $\sin 3x = t$ với $ t\ne 0$ chỉ cho ta tối đa $2$ nghiệm trong $ [2\pi, 4\pi]$.
Khi đó ta được các nghiệm $3x \in\left\{ {2\pi,3\pi,4\pi} \right\}  \Leftrightarrow  x\in\left\{ {\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{4\pi}{3}} \right\}$
Vậy với $m=\pm 2$ phương trình $(1)$ có $4$ nghiệm thuộc $[\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]$