Cho phương trình \(\sqrt x  + \sqrt {9 – x}  = \sqrt { – {x^2} + 9x + m} \)$1$. Giải phương trình khi $m = 9$$2$. Xác định $m$ để phương trình trên có nghiệm.

Đề bài:

Cho phương trình \(\sqrt x  + \sqrt {9 – x}  = \sqrt { – {x^2} + 9x + m} \)$1$. Giải phương trình khi $m = 9$$2$. Xác định $m$ để phương trình trên có nghiệm.

Bài giải:

$1$. Khi \(m = 9\) thì:
Phương trình \( \Leftrightarrow {t^2} – 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 0\\
t = 2
\end{array} \right. \in \left[ {0,\,\frac{9}{2}} \right]\)
Nên phương trình đã cho có nghiệm: \(x = \frac{{9 \pm \sqrt {81 – 0} }}{2};\,\,x = \frac{{9 \pm \sqrt {81 – {{4.2}^2}} }}{2}\)
Đáp số: \(x = 0,\,x = 9,\,x = x = \frac{{9 \pm \sqrt {65} }}{2}\)

$2$.
Điều kiện: \(0 \le x \le 9\)\(\sqrt x  + \sqrt {9 – x}  = \sqrt { – {x^2} + 9x + m}\)
\(  \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  + \sqrt {9 – x} } \right)^2} =  – {x^2} + 9x + m\\
\Leftrightarrow 9 + 2\sqrt {x\left( {9 – x} \right)}  = x\left( {9 – x} \right) + m\,\,  \left( 1 \right)\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x\left( {9 – x} \right)}  = t\\
t \ge 0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – 9x + {t^2} = 0\\
t \ge 0
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow x = \frac{{9 \pm \sqrt {81 – 4{t^2}} }}{2}\)
Với điều kiện \(0 \le t \le \frac{9}{2}\left( {x \in \left[ {0,9} \right]} \right)\) và \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 9 + 2t = {t^2} + m \Leftrightarrow {t^2} – 2t = 9 – m    \left( 2 \right)\)
Phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có ít nhất một nghiệm \(t \in \left[ {0,\,\frac{9}{2}} \right]\)
Xét \(f\left( t \right) = {t^2} – 2t\) có \(f’\left( t \right) = 2t – 2\) và có bảng biến thiên như hình vẽ:

$(2)$ có nghiệm \(t \in \left[ {0,\,\frac{9}{2}} \right] \Leftrightarrow  – 1 \le 9 – m \le \frac{{45}}{4} \Leftrightarrow \frac{{ – 9}}{4} \le m \le 10\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(\frac{{ – 9}}{4} \le m \le 10\)