Cho phương trình: $ x^4 + bx^3 + x^2 + bx + 1 = 0 $ (*). Định tất cả các giá trị thực của $b$ để cho phương trình (*) có không ít hơn hai nghiệm âm phân biệt.

Đề bài:

Cho phương trình: $ x^4 + bx^3 + x^2 + bx + 1 = 0 $ (*). Định tất cả các giá trị thực của $b$ để cho phương trình (*) có không ít hơn hai nghiệm âm phân biệt.

Bài giải:

Nhận xét rằng x=0 không phải là nghiệm của (*).
Chia 2 vế của (*) cho  $ {x^2} $, ta có: $ ({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}) + b(x + \frac{1}{x}) + 1 = 0 $
Đặt  $ t = x + \frac{1}{x};|t| \ge 2 $  , ta có : $ {t^2} + bt – 1 = 0 $       $ \left( 1 \right) $
(1) luôn có 2 nghiệm  $ {t_1},{t_2}\, $ trái dấu.
Giả sử  $ {t_1} Xem  2  phương trình sau:
$ \begin{array}{l}
x + \frac{1}{x} = {t_1} \Leftrightarrow {x^2} – {t_{^1}}x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\
x + \frac{1}{x} = {t_2} \Leftrightarrow {x^2} – {t_2}x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)
\end{array} $
Với  $ {t_2} > 0 $: nếu (3) có nghiệm thì cả hai nghiệm của (3) đều dương (vì  $ P = \frac{c}{a} = 1 > 0,S =  – \frac{b}{a} = {t_2} > 0 $  )
Với  $ {t_1} > 0 $: nếu (2) có nghiệm thì cả 2 nghiệm của (2) đều âm ( $ P = 1 > 0,S = {t_1} Điều kiện để (*) có không ít hơn 2 nghiệm âm là phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt.
$ \begin{array}{l}
\Leftrightarrow |{t_1}| \ge 2 \Rightarrow {t_1} \le 2\\
{t_1}  \Leftrightarrow \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} + 4} }}{2} \le  – 2\Leftrightarrow
\sqrt {{b^2} + 4}  \ge 4 – b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\\
\Leftrightarrow 4 – b \le 0 \vee \left\{ \begin{array}{l}
4 – b > 0\\
{b^2} + 4 > {b^2} – 8b + 16
\end{array} \right.
\Leftrightarrow b \ge 4 \vee \left\{ \begin{array}{l}
b b > \frac{3}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow b \ge 4 \vee \frac{3}{2} \frac{3}{2}
\end{array} $
Vậy  $ b > \frac{3}{2} $