Chứng minh hằng đẳng thức:$a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)[(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2] $ Áp dụng giải phương trình: $(x-2)^3+(x-4)^3+(x-7)^3-3(x-2)(x-4)(x-7)=0$.

Đề bài:

Chứng minh hằng đẳng thức:$a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)[(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2] $ Áp dụng giải phương trình: $(x-2)^3+(x-4)^3+(x-7)^3-3(x-2)(x-4)(x-7)=0$.

Bài giải:

Hướng dẫn:
a) Khai triển vế phải đi đến vế trái.
Từ bài toán này ta suy ra kết quả sau
$a^3+b^3+c^3-3abc=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} a + b+c=0\\ a=b=c \end{matrix}} \right.$
b) Đặt  $x-2=a,  x-4=b,  x-7=c$  và áp dụng kết quả câu a)
Ta có PT
$\left[ {\begin{matrix}x-2+x-4+x-7=0\\x-2=x-4=x-7 \end{matrix}} \right. \Leftrightarrow x=\frac{13}{3}$