Đề bài:
Chứng minh rằng phương trình $2(x+1)\ln (x+1) – x^2 -2x = 0$ có nghiệm duy nhất trên $[0;+\infty ).$
Bài giải:
Xét $f(x) = 2(x+1)\ln (x+1) – x^2 – 2x, x \in [0;+\infty )$
Ta có : $f(0) = 0$
$f(x) = \int\limits_{0}^{x} f'(s)ds = 2 \int\limits_{0}^{x} [\ln (1+s)-s]ds, \forall x \in [0;+\infty )$
Xét hàm số: $g(s)=\ln (1+s)-s$
$g'(s)=\frac{1}{1+s}-1 0)$
$\Rightarrow g(s)$ nghịch biến $\Rightarrow g(s)\leq g(0)=0$ $\Rightarrow f(x) \leq 0$ và $f(x)=0 \Leftrightarrow x=0$
Vậy phương trình $ 2(x+1)\ln (x+1) – x^2 – 2x = 0 $ có nghiệm duy nhất $x=0$ trên $[0;+\infty ).$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với giá trị nào của $a$, phương trình $1 + sin ^2ax =cosx$ có nghiệm duy nhất?
- Giải và biện luận theo tham số $a$ phương trình: $\sqrt{\log_ a\sqrt[4]{ax}+\log_ x \sqrt[4]{ax} }+\sqrt{\log_a\sqrt[4]{\frac{x}{a}}-\log_x\sqrt[4]{\frac{x}{a}}}=\sqrt{\log_ax}. (1)$
- Định m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:\( x^{2}+x=m|2x-2|\)
- Cho phương trình: \(|x+1|+m|x-1|=(m+1)\sqrt{x^2-1}, m\) là tham số.a) Giải và biện luận phương trìnhđã chob) Giải phương trình khi \(m=2\).
- Giải và biện luận theo tham số \(m\) phương trình: \(m\sqrt{x}=m-1\) (1)
- Tùy theo $m$, biện luận số nghiệm của phương trình: $\frac{1}{2}x^2-\ln x-m=0$
- Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số : $\frac{x+1}{x+m+2} – \frac{x-1}{x-m+2} = 0 $
- Người ta định sử dụng hai loại xe có tải trọng $7$ tấn và $5$ tấn để chuyển một đống cát có khối lượng $147$ tấn đến một công trường xây dựng. Hãy xác định cách điều động số lượng xe mỗi loại để thực hiện việc chuyển hết đống cát trong một chuyến.
- Giải và biện luận phương trình theo tham số $m$ $|2x-|2x-1||=-m^2x (1)$
Trả lời