Chứng minh rằng:Nếu phương trình $ax^2+(c-b)x+e-d=0   (1)$ có nghiệm lớn hơn $1$, thì phương trình $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0   (2)$ có ít nhất một nghiệm.

Đề bài:

 Chứng minh rằng:Nếu phương trình $ax^2+(c-b)x+e-d=0   (1)$ có nghiệm lớn hơn $1$, thì phương trình $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0   (2)$ có ít nhất một nghiệm.

Bài giải:

Gọi $x_0>1$ là nghiệm của phương trình $(1)$, tức là $ax_0^2+(c-b)x_0+e-d=0$
$\Leftrightarrow ax_0^2+cx_0+e=bx_0+d                                     (3)$
Gọi $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \Leftrightarrow f(x)=(ax^4+cx^2+e)+x(bx^2+d)$
Do $x_0>1$ nên $\exists \sqrt{x_0}$ và $1-x_0Xét $f(\sqrt{x_0})=(ax_0^2+cx_0+e)+\sqrt{x_0}(bx_0+d)        (5)$
Thay $(3)$ vào $(5)$ ta có $f(\sqrt{x_0})=(1+\sqrt{x_0})(bx_+d)    (6)$
Tương tự ta có $f(-\sqrt{x_0})=(1-\sqrt{x_0})(bx_0+d)           (7)$
Từ $(6),(7)$ dẫn tới $f(\sqrt{x_0}).f(-\sqrt{x_0})=(1-x_0)(bx_0+d)^2 \leq 0$. Suy ra phương trình $(2)$ có nghiệm (đpcm).