Chứng minh với $a$ bất kỳ, $b \ne 0$ phương trình sau luôn có nghiệm $\frac{1}{{x – a}} + \frac{1}{{x + a}} = \frac{1}{b}    (1)$

Đề bài:

 Chứng minh với $a$ bất kỳ, $b \ne 0$ phương trình sau luôn có nghiệm $\frac{1}{{x – a}} + \frac{1}{{x + a}} = \frac{1}{b}    (1)$

Bài giải:

Điều kiện : $x \ne \pm a$
$(1) \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left( {{x^2} – {a^2}} \right) – b\left( {x – a} \right) – b\left( {x + a} \right) = 0    (2)$
+)   Nếu $a = 0$ thì $(2)$ là ${x^2} – 2b{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 0$ ( loại) và ${x_2} = 2b \ne 0$ chọn được
$ \Rightarrow  (1)$ có nghiệm

+)   Nếu $a \ne 0$, ta có:
           $f(a)=-2ab\neq 0               (3)$
          $f(-a)=+2ab\neq 0      (4)$
$(3), (4)$ chứng tỏ $f\left( a \right),f\left( { – a} \right)$ trái dấu nhau $ \Rightarrow f\left( x \right) = 0$ có nghiệm
Mặt khác nghiệm lại $ \ne \pm a$ ( vì $f\left( { \pm a} \right) \ne 0$) nên $(1)$ có nghiệm.
Vậy với $\forall a,   (1)$ đều có nghiệm.