Đinh m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:\( |2x^{2}-2\left(2m+1\right)x+m+2|=|x^{2}-\left(m-1\right)x+2-m\)

Đề bài:

Đinh m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:\( |2x^{2}-2\left(2m+1\right)x+m+2|=|x^{2}-\left(m-1\right)x+2-m\)

Bài giải:

\( |2x^{2}-\left(2m+1\right)x+m+2|=|x^{2}-\left(m-1\right)x+2-m\)
$\Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
2x^{2}-\left(2m+1\right)x+m+2=x^{2}-\left(m-1\right)x+2-m
\\2x^{2}-2\left(2m+1\right)x+m+2=-x^{2}+\left(m-1\right)x-2+m\end{array}
\right.$
 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x^{2}-\left(m+2\right)x+2m=0\\ 3x^{2} -3mx +4=0 \end{array} \right. $
Phương trình $x^{2}-\left(m+2\right)x+2m=0$ có $  \Delta = m^{2}+4m+4-8m= \left(m-2\right)^{2}$
Với $m \neq 2$ , phương trình có nghiệm
$x_{1}=\frac{m+2-m+2}{2}=2$
$x_{2}=\frac{m+2+m-2}{2}=m$
Phương trình $3x^{2} -3mx +4=0 $ có $\Delta = 9m^{2}-48$
Để phương trình có $2$ nghiệm $x_{3} \neq x_{4}$ thì $m\frac{4}{\sqrt{3}}$
$x_{3}=\frac{3m-\sqrt{ 9m^{2}-48}}{6}, x_{4}=\frac{3m+\sqrt{ 9m^{2}-48}}{6}$
để phương trình có bốn nghiệm phân biệt thì:
$\frac{3m\pm \sqrt{ 9m^{2}-48}}{6} \neq 2$ và $\frac{3m\pm \sqrt{ 9m^{2}-48}}{6} \neq m$
$\Leftrightarrow
\begin{cases}3m\pm \sqrt{ 9m^{2}-48}\neq 12 \\ 3m\pm \sqrt{ 9m^{2}-48}
\neq 6m \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m \pm \sqrt{
m^{2}-\frac{16}{3}} \neq 4 \\  m \pm \sqrt{ m^{2}-\frac{16}{3}} \neq 2m
\end{cases}$
$\Leftrightarrow m-4\neq  \pm \sqrt{ m^{2}-\frac{16}{3}} $$\Leftrightarrow   m \neq \pm \sqrt{ m^{2}-\frac{16}{3}} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}m^{2}-8m+16 \neq m^{2}-\frac{16}{3} \\ m^{2} \neq m^{2}-\frac{16}{3} \end{cases} $
 $\Leftrightarrow m \neq \frac{8}{3} $
 $\Rightarrow  $ để phương tình có bốn nghiệm phân biệt thì $ m \frac{4}{\sqrt{3}}, m \neq \frac{8}{3} $